Дифференциальные уравнения первого порядка

ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия.

Определение 1. Уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию и ее производную , называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка записывается в виде

.

Если это уравнение можно разрешить относительно производной, то оно принимает вид

(1)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной или нормальным уравнением первого порядка. Примеры таких уравнений:

Так как , то уравнение (1) иногда удобно записать в виде или в виде . Последнее уравнение является частным случаем более общего уравнения, записанного в дифференциальной форме как

,

где и – известные функции.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой, а сам процесс нахождения решений – интегрированием дифференциального уравнения.

Теорема (Кошиоединственности решения).Если функция и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху. Тогда для внутренней точки области G существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условиям

, при . (2)

Условия (2), в силу которых функция принимает заданное значение в заданной точке , называют начальными условиями и записывают обычно так:

.

Отыскание решения уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2), называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши это означает из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку ( , ) плоскости Оху.

Определение 3. Общим решением уравнения (1) в некоторой области G плоскости Оху называется функция , зависящая от х и произвольной постоянной с. При любых начальных условиях (2) таких, что , существует единственное значение постоянной , такое, что функция удовлетворяет данным начальным условиям .

Определение 4. Частным решением уравнения (1) в области G называется функция , которая получается из общего решения при определенном значении постоянной .

Пример. Решить уравнение

.

Решение. Общим решением данного уравнения в областях и является функция , где с – произвольная постоянная. При различных значениях постоянной с получаем различные значения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начальным условиям . Имеем . Отсюда и искомое частное решение .

Уравнения с разделяющимися переменными. Существует несколько видов дифференциальных уравнений первого порядка, которые интегрируются.

Определение 5. Уравнение вида

, (3)

где и непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимся переменными.

Для решения уравнения (3) нужно выполнить следующие действия. Запишем уравнение в виде и разделим его на и умножим на . Получим

. (4)

Уравнение (4) называется уравнением с разделенными переменными. Левая часть уравнения содержит только переменную , правая – только переменную (переменные разделены).

Интегрируя обе части, получаем общее решение уравнения:

, (5)

где – произвольная постоянная. Соотношение (5) определяет неявным образом общее решение уравнения (4) и называется его общим интегралом.

Другим видом уравнения с разделяющимися переменными является уравнение, записанное в дифференциальной форме

, (6)

где , , , – непрерывные функции.

Нетрудно увидеть, что от уравнения вида (4) легко перейти к уравнению вида (5) и обратно.

Для того, чтобы разделить переменные в уравнении (6), разделим его на . В результате получим уравнение с разделенными переменными:

.

Общий интеграл уравнения (1.10) имеет вид

,

где – произвольная постоянная.

Замечания.1. При разделении переменных в уравнении (4) предполагалось, что . При этом может быть потеряно решение вида . Решение уравнения может либо содержаться в общем решении (5) уравнения (4), либо нет. Если решение уравнения можно получить из общего решения (5) при каком-то конкретном значении постоянной с, то это решение является частным решением уравнения (4). Если же ни при каком значении постоянной с решение уравнения нельзя получить из общего решения (5), то такое решение уравнения называется особым решением уравнения (4).

2. Переменные в уравнении (6) разделялись при условии, что и . Однако, решения уравнений и могут оказаться решением исходного уравнения (6), которое проверяется непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Если ни при каких значениях постоянной с решения нельзя получить, то эти решения будут особыми для уравнения (6).

Примеры.1) Найти общее решение уравнения .

Решение. Разделим уравнение на Получим уравнение с разделенными переменными: . Интегрируя это уравнение, получим:

или

. (7)

Это общий интеграл исходного уравнения, где – решение уравнения , при , а – решение уравнения , при .

Эти решения ни при каком значении постоянной с не могут быть получены из общего решения (7). Следовательно, они являются особыми решениями исходного уравнения. Таким образом, окончательно получаем следующие решения уравнения:

, , .

2) Найти общее решение уравнения

.

Решение. Разделим исходное уравнение на .

Получим уравнение . Проинтегрируем это уравнение (произвольную постоянную можно представить в виде ):

Последнее равенство является общим интегралом уравнения.

Непосредственной подстановкой в уравнение убеждаемся, что х=0 и у=0 являются его решениями. Так как эти решения можно получить из общего решения при с = 0, то они не являются особыми решениями.

3) Решить уравнение:

.

Решение. Запишем уравнение в виде .

Интегрируя, будем иметь

.

Непосредственной подстановкой у=0 в уравнение убеждаемся, что оно является решением этого уравнения. Так как оно ни при каком значении с не может быть получено из общего решения, то является особым решением. Итак, окончательно имеем , у=0.

Линейные уравнения первого порядка.Другим важным уравнением первого порядка является линейное уравнение.

Определение 6. Линейное относительно искомой функции и ее производной уравнение вида

(8)

называется линейным уравнением первого порядка.

Уравнение называется однородным линейным уравнением первого порядка, соответствующим уравнению (8).

Решение неоднородного линейного уравнения (8) можно найти двумя методами: методом вариации произвольной постоянной и методом подстановки. Здесь будет рассмотрен только метод подстановки.

Решение уравнения (8) ищется в виде

Пример. Решить уравнение .

Основные понятия.Уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные выше второго порядка являются дифференциальными уравнениями высших порядков.

Определение 7. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида

.

Если уравнение удается разрешить относительно второй производной, то получим уравнение в нормальной форме, разрешенное относительно старшей производной:

. (10)

Определение 8.Всякая функция , определённая и дважды дифференцируемая на интервале (a, b), называется решением уравнения (10), если она обращает его в тождество.

Задача Коши для дифференциального уравнения (10) ставится так: найти такое решение уравнения, чтобы оно само и его производная при заданном значении аргумента x=x₀ принимали бы заданные значения, т.е. чтобы это решение удовлетворяло условиям:

, (11)

где – заданные числа, которые называются начальными условиями.

Общее решение уравнения (10) зависит от 2-х произвольных постоянных чисел и имеет вид

.

Теорема (Кошиоединственности решения). Пусть функция и её частные производные по переменным непрерывны D пространства переменных .Тогда для любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения (10), удовлетворяющее начальным условиям (11).

Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами. Линейным однородным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.Уравнение вида

(14)

где – заданная функция, называется линейным неоднородным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема.Если y_ч(x) какое-либо частное решение уравнения (14), а общее решение соответствующее уравнению однородного уравнения, то общее решение уравнения (14) записывается в виде .

В зависимости от вида правой части уравнения (14) его частное решение y_ч(x) можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов используется в случаях, когда функция f(x) в правой части имеет вид

(15)

или

, (16)

где – многочлены степени n и m соответственно.

Если в правой части уравнения стоит f₁(x), то частное решение ищется в виде

. (17)

Число s=0, если α– не является корнем характеристического уравнения (13). Если s– корень характеристического уравнения (13), то s=1. Чтобы найти неизвестные коэффициенты в (17) надо подставить в уравнение (14) и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства.

Если в правой части уравнения стоит f₂(x), то частное решение ищется в виде

, (18)

где R_k(x), T_k(x) – многочлены степени k = max(m,n), причем s=0, если не является корнем характеристического уравнения, и s=1 в противном случае. Чтобы найти коэффициенты многочленов R_k(x), T_k(x) надо подставить решение (18) в уравнение (14) и приравнять коэффициенты при подобных членах.

Если правая часть уравнения есть сумма нескольких функций вида f₁(x) или f₂(x), то частное решение отыскивается по следующему правилу: частное решение линейного уравнения с правой частью равно сумме частных решений уравнений с той же левой частью и правыми частями .

Пример.Найти общее решение уравнения

. (19)

Решение. Составляем характеристическое уравнение , корни которого . Этим корням соответствует фундаментальная система решений и общее решение соответствующего однородного уравнения

Правая часть уравнения (19) относится к виду (15), поэтому частное решение ищем в виде . Подставляя это решение в уравнение, получим

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях последнего тождества, получаем систему алгебраических уравнений для определения A, B, C:

откуда A= 9/2, B=-9/2, C=63/4.

Общим решением уравнения является функция

.

Пример.Найти общее решение уравнения

.

Решение.Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому, общим решением соответствующего однородного дифференциального уравнения является функция . Правая часть исходного уравнения представляется в виде суммы двух функций . Следовательно, частное решение уравнения можно найти как сумму частных решений уравнений:

и .

Найдем частное решение первого уравнения, а затем – второго:

1) . Так как не является корнем характеристического уравнения, то . Тогда ; , откуда . Таким образом, ;

2) . Правая часть этого уравнения относится к типу (2.15) при – многочлен 1-й степени. Так как не является корнем характеристического уравнения, то решение ищем в виде . Находим: . Подставим в данное уравнение. Имеем или . Приравнивая коэффициенты при и в обеих частях последнего тождества, получим Отсюда . Следовательно, . Общее решение исходного уравнения следующее: