Алгоритмы генерации фрактальных моделей

Первая вкладка (Треугольник Серпинского).

Его построение происходит так: равносторонний треугольник делится прямыми, параллельными его сторонам, на 4 равных равносторонних треугольника. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Получается множество , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

пересечение членов, котором и является треугольник Серпинского.

Свойства треугольника Серпинского:

· Треугольник Серпинского замкнут;

· Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1;

· Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть, нецелую) Хаусдорфову размерность ;

· треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.

Вторая вкладка [Дерево].

Дерево Пифагора — разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны».

Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891—1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку.

Третья вкладка [Драконова ломаная].

Кривая дракона — пример системы итерируемых функций, общее название для некоторых фрактальных кривых, которые могут быть аппроксимированы рекурсивными методами, такими как L-системы.

Фрактал может быть записан как L-система с параметрами:

· угол равен 90°

· начальная строка — FX

· правила преобразования строк:

1. X X+YF+

2. Y -FX-Y

Кроме того, фрактал может быть описан системой итерируемых функций на комплексной плоскости:

Берём отрезок, сгибаем его пополам. Затем многократно повторяем итерацию. Если после этого снова разогнуть получившуюся (сложенную) линию так, чтобы все углы были равны 90°, мы получим драконову ломаную.

Четвертая вкладка [Изменение фракталов Мандельброта и Жюлиа].

Множество Мандельброта — это множество таких точек c на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность z₀=0, z_n=z_n-1²+c (n=1, 2, 3, …) не уходит на бесконечность. То есть, это множество таких c, для которых существует действительное R, что неравенство |z_n|<R выполняется при всех натуральных n.

Множество Мандельброта является фракталом. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга.

Таким образом, вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки на комплексной плоскости следующим образом:

и так далее.

Если переформулировать эти выражения в виде итеративной последовательности значений координат комплексной плоскости и , т. е. заменив на , а на , мы получим:

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду. Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от −1,78 до −1,75 на отрицательной оси действительных значений.

Множество Жюлиа рационального отображения — множество точек, динамика, в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В том случае если f — полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

Множество Фату — дополнение к множеству Жюлиа. Иными словами, динамика итерирования f на регулярна, а на хаотична.

Дополняет большую теорему Пикара о «поведении аналитической функции в окрестности существенно особой точки».

Эти множества названы по именам французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату, положивших начало исследованию голоморфной динамики в начале XX века.