Когда исходные данные сгруппированы, то расчёт средней производится по
формуле средней арифметической взвешенной:
где fi– частота ряда распределения, с которой отдельные варианты встречаются в совокупности (или удельный вес отдельных значений во всей совокупности).
Например: Рабочие бригады по возрасту распределились следующим образом:
Возраст рабочих, лет (X)
Численность рабочих, чел. (fi)
Средний возраст рабочего бригады составляет
Если исходная информация представлена в виде интервального ряда распределения, то средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле:
где Xc- центральное (серединное) значение признака в интервале.
Например: По имеющимся данным определить средний стаж рабочего бригады:
Стаж работы, лет
0 - 2
2 - 4
4 - 6
6 - 8
8 - 10
Численность рабочих, чел. (fi)
Для расчёта средней арифметической взвешенной интервального ряда распределения определим центральное (серединное) значение признака в каждом интервале. Среднее значение интервала находится как полусумма нижней границы данного интервала и нижней границы следующего интервала:
Стаж работы, лет
0 - 2
2 - 4
4 - 6
6 - 8
8 - 10
(Xc )
Оформим исходные данные а следующем виде:
Стаж работы, лет
0 - 2
2 - 4
4 - 6
6 - 8
8 - 10
(Xc )
Численность рабочих, чел. (fi)
Средний стаж рабочего бригады составляет
Если в интервальном ряду распределения имеются «открытые» интервалы, то для установления центральных (серединных) значений «открытых» интервалов на каждый из них условно распространяется величина смежного «закрытого» интервала.
Например: Работники организации по величине заработной платы за январь 2010 года распределились следующим образом:
Группы работающих по величине
заработной платы за январь 2010 года, тыс.руб.
Численность работников,
в % к итогу (fi)
До 9
9 - 12
12 - 15
15 - 20
20 и выше
Итого:
Определить по имеющимся данным среднюю зарплату работников организации.
Для расчёта средней арифметической взвешенной интервального ряда распределения определим центральное (серединное) значение признака в каждом интервале. На каждый открытый интервал условно распространим величину смежного закрытого интервала:
Группы работающих по величине заработной платы за январь 2010 года, тыс.руб.
Численность работников,
в % к итогу (fi)
Центральное (серединное) значение интервала
(Xc), руб
До 9
9 - 12
12 - 15
15 - 20
20 и выше
Итого:
Частоты при расчете средних арифметических могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами – частостями Результаты применительно к одинаковым вариантам будут совпадать. В данном примере численность работников выражена не частотами, а частостями – удельными весами численности отдельных групп во всей совокупности, что не влияет на порядок расчёта средней.
Средняя зарплата работников организации составляет:
Необходимо небольшое пояснение применительно к расчету средней в интервальных рядах распределения. В действительности распределение отдельных вариантов в пределах интервала может оказаться неравномерным. В этом случае середина интервала будет в той или иной степени отличаться от фактической средней по интервалу. Это в свою очередь может повлиять на правильность общей средней, исчисленной по данным интервального ряда. Степень расхождения зависит от ряда причин. Во-первых, от числа вариант, чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Во-вторых, от величины интервала. Если интервал невелик, то ошибка будет незначительной, т.к. групповая средняя будет мало отличаться от середины интервала. В-третьих, от характера распределения. Чем симметричнее распределение, тем ошибка меньше. В-четвертых, размер ошибки зависит от принципа построения интервального ряда. При равных интервалах середина интервала будет ближе к средней по данной группе. При наличии открытых интервалов расхождение, как правило, взрастает из-за условного обозначения неизвестных границ. Общая средняя равна средней из частных (групповых) средних, взвешенных по численности соответствующих частей совокупности. Это правило имеет большое значение для всей статистики – организации сбора и обработки данных, их анализа.
Свойства средней арифметической:
1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты. Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен за знак средней.
2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число:
3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз
4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится. Дело в том, что веса при исчислении средней арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений между группами по количеству единиц). Поэтому замена частот частостями не меняет значения средней.
5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю.
Перечисленные свойства могут быть использованы для того, чтобы облегчить технику исчисления средней арифметической.
Например. Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частостями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Иногда этот способ расчета средней арифметической также называется способом расчета от условного нуля. Широкое применение для обработки статистических материалов современных ЭВМ сужает необходимость исчисления средних по упрощенным схемам.
