Электромагнетизм

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Связь магнитной индукции B с напряженностью H магнитного поля:

где m - магнитная проницаемость изотропной среды; m₀ - магнитная постоянная.

В вакуумеm = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме

Закон Био-Савара-Лапласа:

или

где - магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной dl с током I; - радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция;a - угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе проводника.

Магнитная индукция в центре кругового тока:

где R - радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока:

где h - расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля прямого тока

где r_o - расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (рис.I,a):

Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции обозначено точкой - это значит, что направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис.I,б):

-cosa₂ = cosa₁=cosa,

тогда

Рис.1

Магнитная индукция поля соленоида

где n - отношение числа витков соленоида к его длине.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле (закон Ампера):

где l - длина проводника; a - угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции . Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка проводника. Если поле неоднородно и проводник не является прямым, то закон Ампера можно применить к каждому элементу проводника в отдельности:

Магнитный момент плоского контура с током:

где - единичный вектор нормали (положительный) к плоскости контура;I - сила тока, протекающего по контуру;S - площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

, или

где a - угол между векторами и .

Потенциальная энергия (механическая) контура с током в магнитном поле:

,или

Отношение магнитного момента к механическому (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите:

где Q - заряд частицы; m - масса частицы.

Сила Лоренца:

, или

где - скорость заряженной частицы; a - угол между векторами и .

Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

или

где S - площадь контура; a - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток):

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

Работа по перемещению контура в магнитном поле:

Э.д.с. индукции:

Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью в магнитном поле:

где l - длина проводника; a - угол между векторами и .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур:

или

где R - сопротивление контура.

Индуктивность контура:

Э.д.с. самоиндукции:

Индуктивность соленоида:

где n - отношение числа витков соленоида к его длине; V - объем соленоида.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлениемR и индуктивностью L:

а) (при замыкании цепи), гдеE- э.д.с. источника тока; t- время, прошедшее после замыкания цепи;

б) (при размыкании цепи), гдеI_o - сила тока в цепи при t = 0;t - время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля:

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему):

, или , или

где B- магнитная индукция; H - напряженность магнитного поля.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1.Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I=60A, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис.1), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r₁=5 cм, от другого - r₂=12 cм.

Рис.1

Решение: Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций В₁ и В₂ полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их векторно:

Модуль вектора может быть найден по теореме косинусов:

(1)

где a - угол между векторами и .

Магнитные индукции и выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А:

;

Подставляя выражения В₁ и В₂ в формулу (1) и вынося за знак корня, получаем

(2)

Вычислим cos a. Заметив, что a=ÐDCA (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем

где d - расстояние между проводами. Отсюда

;

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 2.По тонкому проводящему кольцу радиусом R=10 см течет ток I=80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r=20 см.

Решение: Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

где - магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока в точке, определяемой радиусом-вектором r.

Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор (рис.2). Вектор направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А определяется интегрированием:

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор на две составляющие: , перпендикулярную плоскости кольца, и , параллельную плоскости кольца, т.е.

Рис.2.

Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы от различных элементов сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

где и (поскольку перпендикулярен и, следовательно, sin a=1). Таким образом,

После сокращения на 2p и замены cos b на R/r (рис.2) получим

или ,

где h – расстояние от плоскости кольца до точки А.

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции:

Тогда

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

или В=62,8 мкТл.

Вектор направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рис) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 3. Длинный провод с током I=50 A изогнут под углом a=2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис.3). Расстояние d=5 см.

Решение: Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис.4). В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей маг-

Рис.3. нитная индукция В в

точке А будет равна векторной сумме магнитных индукций и полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. . Магнитная индукция В₂ равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода, dB = 0 ([ ] = 0).

Магнитную индукцию В₁ найдем, воспользовавшись соотношением (3), найденным в примере 1:

где r₀ - кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (рис.4).

В нашем случае a₁®0 (провод длинный), a₂ = a = 2p/3 (сos a₂ = =cos (2p/3) = -1/2). Расстояние r₀ = d sin (p-a) = d sin (p/3) = d . Тогда магнитная индукция

Рис.4.

Так как B = B₁ (B₂ = 0), то

Вектор сонаправлен с вектором и определяется правилом правого винта. На рис.4 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Проверка размерности аналогична выполненной в примере 2. Произведем вычисления:

Пример 4.Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис.5). По проводам текут токи I₁ = 80 A и I₂ =60 A. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция поля, создаваемого токами I₁ и I₂, определяется выражением , где - магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₁ ; - магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₂.

Рис.5. Заметим, что векторы и взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис.6). Тогда модуль вектора можно определить по теореме Пифагора:

где В₁ и В₂ определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

и

В нашем случае r₀ = d/2. Тогда

Проверка размерности аналогична выполненной в примере2. Произведем вычисления:

Рис.6

Пример 5.Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 7. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I = 80 A, текущим по этому проводу.

Решение. Магнитную индукцию в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: . В нашем случае провод можно разбить на три части (рис.8): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

где - магнитные индукции в точке О, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то В₁ = 0 и тогда

Рис.7. Рис.8.

Учитывая, что векторы и направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то векторное суммирование можно заменить алгебраическим:

В = В₂ + В₃

Магнитную индукцию В₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому

Магнитную индукцию найдем по формуле:

В нашем случае r₀ = R, a₁=p/a (cos a₁ = 0), a₂®p (cos a₂ = -1). Тогда

Используя найденные выражения для В₂ и В₃ , получим

или

Проверка размерности аналогична выполненной в примере 2.

Произведем вычисления:

,

или

Пример 6.Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Решение. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору , то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение а_n.

Согласно второму закону Ньютона,

(1)

где m - масса протона.

На рис. 9 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы и сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление линий индукции (направление вектора ).

		Q

Рис.9.

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):

(2)

В скалярной форме F_Л = QvBsin a. В нашем случае ^ и sin a=1, тогда F_Л = QvB. Так как нормальное ускорение a_n = v²/R, то выражение (2) перепишем следующим образом:

Отсюда находим радиус окружности:

Заметив, что mv есть импульс протона (p), это выражение можно записать в виде

(3)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = DТ, или

где j₁ - j₂ - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U); Т₁ и Т₂ - начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (Т₁»0) и выразив кинетическую энергию Т₂ через импульс p, получим

Найдем из этого выражения импульс и подставим его формулу (3):

,

или

(4)

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

.

Подставим в формулу (4) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 7.Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 cм. Определить магнитный момент p_m эквивалентного кругового тока.

Решение. Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На рис.10 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены “от нас” (обозначены крестиками).

Рис.10.

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае определяется выражением

где е - заряд электрона; Т - период его обращения.

Период обращения можно выразить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период

T = v/(2pR). Тогда

(1)

Зная I_экв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

(2)

где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном (S = pR²).

Подставив I_экв из (1) в выражение (2), получим

Сократим на pR и перепишем это выражение в виде:

(3)

В полученном выражении известной является скорость электрона, которая связана с радиусом R окружности, по которой он движется, соотношением R = mv/(QB) (см. пример 6). Заменив Q на |е|, найдем интересующую нас скорость v = |e|BR/m и подставим ее в формулу (3):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу измерения магнитного момента (А×м²):

Произведем вычисления:

Пример 8. Электрон движется в однородном магнитном поле (В = 10 мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период T обращения электрона и его скорость v.

Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (a ¹ p/2)к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рис.11, скорость v электрона на две составляющие: параллельную вектору, v_||, и перпендикулярную ему, v_^. Скорость v_|| в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v_^ в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению ( ^ ) (в отсутствие параллельной составляющей, v_|| = 0, движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью v_|| и равномерном движении по окружности со скоростью v_^ .

Рис.11.

Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением:

(1)

Найдем отношение R/v_^ . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение a_n = v_^² /R. Согласно второму закону Ньютона можно написать

,

или

(2)

где v_^ = v sin a.

Сократив (2) на v_^, выразим соотношение R/v_^ (R/v_^ = m/|e|B)и подставим его в формулу (1):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):

Произведем вычисления:

Модуль скорости v, как это видно из рис.11, можно выразить через v_^ и v_|| :

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:

Параллельную составляющую скорости v_|| найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения T, электрон пройдет в направлении магнитного поля расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Tv_|| , откуда

v_|| = h/T

Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу измерения - метр (м). Поэтому в квадратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

Произведем вычисления:

или 24,6 Мм/с.

Пример 9.Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой n = 10 c^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a= 60° с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см².

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции e_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

(1)

Потокосцепление Y = NФ, где N - число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1), получим

(2)

Рис.12

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону Ф = BScos wt, где B - магнитная индукция; S - площадь катушки; w - угловая скорость катушки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Заметив, что угловая скорость w cвязана с частотой вращения n катушки соотношением w = 2pn и что угол wt = p/2 - a (рис.11), получим (учтено, что sin (p/2-a) = cos a)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

Произведем вычисления:

Пример 10.Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции

Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить воспользовавшись законом Ома для полной цепи I_i = e_i/R, где R - сопротивление рамки. Тогда

Так как мгновенное значение силы индукционного тока , то выражение можно переписать в виде

, откуда (1)

Проинтегрировав выражение (1), найдем

, или

Заметим, что при выключенном поле (конечное состояние) Ф₂ = 0, последнее равенство перепишется в виде

(2)

Найдем магнитный поток Ф₁. По определению магнитного потока имеем

Ф₁ = ВScos a

где S - площадь рамки.

В нашем случае (рамка квадратная) S = a². Тогда

Ф₁ = Ва²сos a(3)

Подставив (3) в (2), получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):

Произведем вычисления:

Пример 11.Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 A, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) j=90°; j=3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы (рис.10).

М = p_mBsin j (1)

где p_m = IS = Ia² - магнитный момент контура; B - магнитная индукция; j - угол между векторами (направлен по нормали к контуру) и .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитное поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, j = 0, т.е. векторы и сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил (рис.11) будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Мdj.Учитывая формулу (1), получаем

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(2)

Работа при повороте на угол j₁ = 90°

(3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ (I = 100 A, B = 1Tl, a = 10 см = 0,1 м) и подставим в (3):

A₁ = 100×1× (0,1)² Дж = 1 Дж

Работа при повороте на угол j₂ = 3°. В этом случае, учитывая, что угол j₂ мал, заменим в выражении (2) sin j»j:

(4)

Выразим угол j₂ в радианах. После подстановки числовых значений величин в (4) найдем

Задачу можно решить и другими способами:

1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:

А = -IDФ = I(Ф₁ - Ф₂)

где Ф₁ - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф₂ - то же, после перемещения.

Если j = 90°, то Ф₁ = BS, Ф₂ = 0. Следовательно,

А = IBS = IBa²

что совпадает с (3).

2. Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле

П (j) = -p_mBcosj

Тогда работа внешних сил

А = DP = P₂ - P₁ или А = p_mB(cosj₁ - cosj₂)

Так как p_m = Ia², cos j₁ = I и cos j₂ = 0, то

А = Iba²

что также совпадает с (3).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ