ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Основные формулы

Связь магнитной индукции В с напряженностью Н магнитного поля

,

где μ - магнитная проницаемость изотропной среды; μ₀ - магнитная постоянная. В вакууме μ =1, и тогда магнитная индукция в вакууме

Закон Био – Савара- Лапласа:

где dВ - магнитная индукция поля, создаваемого элементом провода длиной dl с током I; r- радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; α - угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе провода.

Магнитная индукция в центре кругового тока

,

где R - радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока:

,

где h - расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля прямого тока:

В = μμ₀I/(2πr₀),

где r₀ - расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (см. рис. 31а и пример 1),

Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции В обозначено точкой - это значит, что В направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.

При симметричном располо­жении концов провода относи­тельно точки, в которой опреде­ляется магнитная индукция (рис. 31б), -cosα₂ = cosα₁ = cosα, тогда

Магнитная индукция поля соленоида:

B = μμ₀ nI,

где п - отношение числа витков соленоида к его длине.

Сила, действующая на провод с током в магнитном поле (закон Ампера),

F = I[lB], или F = IBlsina,

где l - длина провода; α - угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции В. Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода. Если поле неоднородно и провод не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу провода в отдельности:

dF=I[dlB].

Магнитный момент плоского контура с током

р_т = n /S,

где n - единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I - сила тока, протекающего по контуру; S - площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,

М = [р_mВ], или М = p_mBsinα,

где α - угол между векторами р_mи В.

Потенциальная энергия (механическая)* контура с током в магнитном поле

П_мех = -р_mB, или П_мех= -р_mBcosα

Отношение магнитного момента р_т к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по крутой орбите,

,

где Q - заряд частицы; т - масса частицы.

Сила Лоренца**

F = Q[vB], или F = QυBsinα,

где v - скорость заряженной частицы; α - угол между векторами v и В. Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф = BScosα или Ф = B_nS,

где S -площадь контура; α - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток)

Ψ = NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

Работа по перемещению замкнутого контура в маг­нитном поле

А = I ΔФ.

ЭДС индукции

.

Разность потенциалов на концах провода, движущегося со скоростью v в магнитном поле,

U =Вlvsinα,

где l- длина провода; α- угол между векторами v и В. Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур, где R - сопротивление контура.

Индуктивность контура

L = Ф/I

ЭДС самоиндукции

Индуктивность соленоида

,

где п - отношение числа витков соленоида к его длине; V- объем соленоида.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) (при замыкании цепи), где ε - ЭДС источника тока; t - время, прошедшее после замы­кания цепи;

б) (при размыкании цепи), где I₀ - сила тока в цепи при t = 0; t - время, прошедшее с момента размыкания цепи.

* Часть полной потенциальной энергии, которая обусловлена существованием механического (вращательного) момента (см.: Савельев И. В. Курс общей физики. М., 1978. Т. 2. С. 129).

** Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение F = QE + Q [vB].

Энергия магнитного поля .

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему)

где В -магнитная индукция; Н -напряженность магнитного поля.

Примеры решения задач

Пример 1.По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I =50 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в точке A, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r₀ = 30 см от его середины.

Решение. Для решения задач воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет определить магнитную индукцию dB, создаваемую элементом тока Idl. Заметим, что вектор dB в точке А направлен за плоскость чертежа. Принцип суперпозиции позволяет для определения В воспользоваться геометрическим суммированием (интегрированием):

(1)

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме:

,

где dB - магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной d l с током I в точке, определяемой радиусом-вектором r; μ₀ - магнитная постоянная; μ - магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае μ = 1*). Заметим, что векторы dB от различных элементов тока сонаправлены (рис. 32), поэтому выраже­ние (1) можно переписать в скалярной форме: ,

где .

В скалярном выражении закона Био-Савара-Лапласа угол α есть угол между элементом тока Idl и радиусом-вектором r.

Таким образом,

. (2)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна переменная – угол α. Для этого выразим длину элемента провода dl через угол dα: dl = rdα/sinα (рис. 32).

* Во всех задачах, где это специально не оговорено, следует считать, что средой является воздух, для которого магнитная проницаемость принимается равной единице.

Тогда подынтегральное выражение запишем

в виде

.

Заметим, что переменная r также зависит от α (r = r_o/sinα); следовательно,

.

Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде

,

где α₁ и α₂ - пределы интегрирования. Выполним интегрирование:

(3)

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cosα₂ =- cos α₁ С учетом этого формула (3) примет вид

. (4)

Из рис. 32 следует

.

Подставив выражение cos α₁ в формулу (4), получим

. (5)

Произведя вычисления по формуле (5), найдем В = 26,7 мкТл.

Направление вектора магнитной индукции В поля, создаваемого прямым током, можно определить по пра­вилу буравчика (правилу правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая линия на рис. 33) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор В. Вектор магнитной индукции В в точке А (рис. 32) направлен перпендикулярно плос­кости чертежа от нас.

Пример 2.Два параллельных бесконечно длинных провода D и С,покоторым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 34), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r₁ = 5 см, от другого r₂ = 12 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций B₁ и В₂ полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:

В= B₁ + В₂

Модуль вектора В может быть найден по теореме косинусов:

, (1)

где α – угол между векторами B₁ и В₂ .

Магнитные индукции B₁ и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А:

Подставляя выражения B₁ и В₂ в формулу (1) и вынося μ₀I/(2πr₂) за знак корня, получаем

. (2)

Вычислим cosα. Заметив, что (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем

,

где d - расстояние между проводами. Отсюда

.

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R =10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию В в точке A, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

,

где dB - магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиус-вектором r.

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор r (рис. 35). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция В в точке определяется интегрированием:

,

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца. Разложим вектор dB на две составляющие: dB_┴ , перпендикулярную плоскости кольца, и dB_║ параллельную плоскости кольца, т. е.

dB= dB_┴ + dB_║.

Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dB_┴ от различных элементов dl сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

,

где (поскольку dl перпен­дикулярен r и, следовательно, sin α = 1). Таким образом,

.

После сокращения на 2π и замены cos β на R/r (рис. 35) получим

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции:

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

или В = 62,8 мкТл.

Вектор В направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рис. 35) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 4. Длинный провод с током I =50 А изогнут под углом α=2π/3. Определить магнитную индукцию В в точке A (рис. 36). Расстояние d = 5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис.37).

В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция В в точке A будет равна геометрической сумме магнитных индукций В₁ и В₂ полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. B = B₁ + B₂. Магнитная индукция В₂ равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода, dB = 0 ([dlr]=0).

Магнитную индукцию B₁ найдем, воспользовавшись соотношением (3), найденным в примере 1:

где r₀ - кратчайшее расстояние от провода l до точки A (рис. 37).

В нашем случае α→0(провод длинный), α₂ = α= 2π/3 (cos α₂ = cos (2π/3)=-1/2). Расстояние r_o = d sin (π-α) «= d sin (π/3) = . Тогда магнитная индукция

Так как B=B₁ (В₂ = 0), то

.

Вектор В сонаправлен с вектором B₁ и определяется правилом правого винта. На рис. 37 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Проверка единиц аналогична выполненной в примере 3. Произведем вычисления:

_.

Пример 5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямымуглом (рис, 38). По проводам текут токи 1₁ = 80 А и1₂ = 60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точке A, одинаково удаленной от обоих проводов.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция В поля, создаваемого токами 1₁ и 1₂, определяется выражением В = B₁ + В₂, где B₁ - магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₁; В₂ - .магнитная индукция поля, созданного в точке А током 1₂.

Заметим, что векторы B₁ и В₂ взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис. 39). Тогда модуль вектора В можно определить по теореме Пифагора:

,

где В₂ и В₂ определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

.

В нашем случае r₀ = d/2. Тогда

.

Проверка единиц величин аналогична выполненной в примере 3.

Произведем вычисления:

Пример 6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 40. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током I =80 А, текущим по этому проводу.

Решение. Магнитную индукцию B в точке O найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: . В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. 41): два прямолинейных провода (/ и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R.. Тогда

,

где B₁, В₂ и В₃ - магнитные индукции в точке О, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провод

Так как точка О лежит на оси провода 1, то B₁=0 и тогда

.

Учитывая, что векторы В₂ и В₃ направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

Магнитную индукцию найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

.

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому

.

Магнитную индукцию найдем, воспользовавшись соотношением (3), выведенном на примере 1:

В нашем случае , . Тогда

Используя найденные выражения для и , получим

или

Проверка единиц величин аналогична выполненной в примере 3.

Произведем вычисления:

Тл= Тл

или

В = 331 мкТл.

Пример7. По двум параллельным прямым проводам длиной l=2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d=20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удобства и ) текут в одном направлении. Ток создает в месте расположения второго провода (с током ) магнитное поле. Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис. 42) через второй провод и по касательной к ней - вектор магнитной индукции В₁. Модуль магнитной индукции В₁ определяется соотношением

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током длиной dl действует в магнитном поле сила

Таккак вектор dl перпендикулярен вектору B₁, то и тогда

Подставив в это выражение согласно (1), получим

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Заметив, что , получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

Произведем вычисления:

.

Сила Fсонаправлена с силой dF (рис.42) и определяется (в данном случае проще) правилом левой руки.

Пример 8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Решение. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции .

Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору v, то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение а_n.

Согласно второму закону Ньютона,

(1)

где т- масса протона.

На рис. 43 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора v. Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору vк центру окружности (векторы а_n и F_л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора В).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):

(2)

В скалярной форме F_л = Q vB sin α В нашем случае и sinα = 1, тогда F_л=QvB. Так как нормальное ускорение a_n= v²/R, то выражение (2) перепишем следующим образом:

.

Отсюда находим радиус окружности:

.

Заметив, что mvесть импульс протона (р), это выражение можно записать в виде

R = p/(QB). (3)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А=ΔТ или

,

где φ₁ - φ₂ - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U); Т₁ и Т₂ - начальная и ко­нечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (Т₁ ≈ О) и выразив кинетическую энергию Т₂ через импульс р, получим

.

Найдем из этого выражения импульс и подставим его в формулу (3):

,

или

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

Подставим в формулу (4) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

.

Пример 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл), стал двигаться по радиуса R = 5 см. Определить магнитный момент окружности р_т эквивалентного кругового тока.

Решение. Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На рис. 44 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа инаправлены «от нас» (обозначены крестиками).

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае опреде­ляется выражением

где е -заряд электрона; Т- период его обращения.

Период обращения можно выразить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период Т = v/ (2πR . Тогда

. (1)

Зная I_экв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

, (2)

где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном (S =πR²).

Подставив I_экв из (1) в выражение (2), получим

Сократим на πR и перепишем это выражение в виде:

. (3)

В полученном выражении известной является скорость электрона, которая связана с радиусом R окружности, по которой он движется, соотношением R = = mv/(QB) (см. пример 8). Заменив Q на |е|, найдем интересующую нас скорость v=|e|BR/m и подставим ее в формулу (3):

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу магнитного момента (А·м²):

Произведем вычисления:

Пример 10. Электрон движется в однородном магнитном поле (В =10 мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.

Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (α ≠ π/2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рис.45, скорость v электрона на две составляющие:параллельную вектору В(ν_║) и перпендикулярную ему (ν_┴).

Скорость v_║ в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v _┴ в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению - (F_{л ┴} v_┴ ) (в отсутствие параллельной составляющей (v_║ = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью v_║и равномерном движении по окружности со скоростью v _┴.

Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением

T=2πR v _┴. (1)

Найдем отношение R v_┴, Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение . Согласно второму закону Ньютона можно написать ,

или

, (2)

где .

Сократив (2) на , выразим соотношение ( ) и подставим его в формулу (1):

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):

Произведем вычисления:

Модуль скорости v,как это видно из рис. 45, можно выразить через и v_║:

.

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:

.

Параллельную составляющую скорости v_║найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = T v_║, откуда

Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что Rиhимеют одинаковую единицу - метр (м). Поэтому в квадратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

или 24,6 Мм/с.

Пример 11. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E =10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа-частицы к ее массе т,воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы:

QU= m v²/2

откуда

Q/m= v²/(2U). (1)

Скорость vальфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца F_л = Q [vВ], направленная перпендикулярно скорости v и вектору магнитной индукции В;

б) кулоновская сила F_к = QE, сонаправленная с вектором напряженности Е электростатического поля (Q > 0).
На рис. 46 направим вектор магнитной индукции В вдоль оси Oz, скорость v - в положительном направлении оси Ох, тогда F_л и F_к будут направлены так, как показано на рисунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма силF_л = F_к будет равна нулю. В проекции на ось Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что и sinα = 1):

откуда

v = E/B.

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

Q/m = E²(2UB²).

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу удельного заряда (Кл/кг):

Произведем вычисления:

Пример 12. Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой n- 10 с ^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α=60° с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см².

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции ε_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея - Максвелла:

(1)

Потокосцепление ψ = NФ, где N - число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение ψ в формулу (1), получим

(2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону Ф = BS cos ωt, где В - магнитная индукция; S - площадь катушки; ω - угловая скорость катушки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

ε_i = NBSω sin ωt.

Заметив, что угловая скорость ω связана с частотой вращения n катушки соотношением ω = 2πn и что угол ωt=π/2-α (рис. 47), получим (учтено, что sin (π/2 - α) = cos α)

ε_i = 2πnNBS cos α.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

Произведем вычисления:

= 2ּ 3,14ּ 10 ּ10³ּ 0,04 ּ10^-2 ּ 0,5В = 25,1В.

Пример 13. Квадратная проволочная рамка со сторо­ной а = 5 см и сопротивлением R=10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол а =30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции

Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить воспользовавшись законом Ома для полной цепи , где R- сопротивление рамки. Тогда

Так как мгновенное значение силы индукционного тока то это выражение можно переписать в виде

,

откуда

(1)

Проинтегрировав выражение (1), найдем

, или

Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние) Ф₂ = 0, последнее равенство перепишется в виде

(2)

Найдем магнитный поток Ф₁ По определению магнитного потока имеем

Ф₁ = BS cos α,

где S - площадь рамки.

В нашем случае (рамка квадратная) S = а². Тогда

Ф₁ = Ba²cosα. (3)

Подставив (3) в (2), получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):

Произведем вычисления:

Пример 14. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток 1= 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В= 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) φ₁ = 90°; 2) φ₂ = 3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном ноле действует момент силы (рис. 48)

М = р_тВ sin φ, (1)

где р_т = IS = Ia² - магнитный момент контура; В - магнитная индукция; φ –

угол между векторами р_m (направлен по нормали к контуру) и В.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитное поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, φ = 0, т. е. векторы р_m и В сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил [см. (1)] будет стре­миться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменной (зависит от угла поворота φ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Mdφ. Учитывая формулу (1), получаем

.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(2)

Работа при повороте на угол φ₁ = 90°

(3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ (I = 100 A, В = 1Tl, а = 10 см = 0,1 м) и подставим в (3):

А₁= 100·1·(0,1)² Дж= 1 Дж.

Работа при повороте на угол φ₂ = 3°. В этом случае, учитывая, что угол φ₂ мал, заменим в выражении (2) sin φ ≈ φ

(4)

Выразим угол φ₂ в радианах. После подстановки числовых значений величин в (4) найдем

Задачу можно решить и другими способами:

1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:

A = -IΔФ = I(Ф₁ -Ф₂),

где Ф₁ - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф₂ - то же, после перемещения.

Если φ₁ = 90°, то Ф₁ = BS, Ф₂ = 0.

Следовательно,

A = IBS = IBa²,

что совпадает с (3).

2. Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле

Тогда работа внешних сил

А = ΔП = П₂ - П₁.

или

Так как p_m = Ia², cos φ₁ = I и cos φ₂ = 0, то

А = IBa²,

что также совпадает с (3).

Пример 15. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Решение. Индуктивность L связана с потокосцеплением ψ и силой тока I соотношением

Ψ = LI. (1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

Ψ = NФ. (2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида:

L = NФ/I. (3)

Энергия магнитного поля соленоида

.

Выразив L согласно (3), получим

W=½ NФI (4)

Подставим в формулы (3) и (4) значения физических величин и произведем вычисления:

Контрольная работа 4

Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых

предусмотрено по курсу физики шесть контрольных работ

401.Бесконечно длинный провод с током I =100 А изогнут так, как это показано на рис. 49. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R= 10 см.

402.Магнитный момент р_т тонкого проводящего кольца р_т =5 А·м². Определить магнитную индукцию В в точке А, находящейся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние r = 20 см (рис. 50).

403.По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I и 2I (I =100 А). Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 51). Расстояние d= 10 см.

404.По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 52, течет ток I = 200 А. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

405.По тонкому кольцу радиусом R = 20 см течет ток I =100 А. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А (рис: 53). Угол β = π/3.

406.По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I и I₂ = 2I₁ (I₁ = 100 A). Определить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d = 10 см (рис. 54).

407.По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 55, течет ток I = 200А. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R= 10 см.

408. По тонкому кольцу течет ток I = 80 А. Определить магнитную индукцию В в точке A, равноудаленной от точек кольца на расстояние r = 10 см (рис. 56). Угол α = π/6.

409.По двум бесконечно длинным, прямым параллельным проводам текут одинаковые токи I = 60 А. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 57), равноудаленной от проводов на расстояние d=10 см. Угол β = π/3.

410.Бесконечно длинный провод с током I =50 А изогнут так, как это показано на рис. 58. Определить магнитную индукцию В в точке A, лежащей на биссектрисе прямого угла на расстоянии d =10см от его вершины.

411.По двум параллельным проводам длиной l = 3 м каждый текут одинаковые токи

I =500 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить силу F взаимодействия проводов.

412.По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии d = 20см друг от друга, текут одинаковые токи I = 400 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить для каждого из проводов отношение силы, действующей на него, к его длине.

413.Квадратная проволочная рамка расположена водной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи I =200 А. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии ,равном ее длине.

414.Короткая катушка площадью поперечного сечения S = 250cm², содержащая N = 500 витков провода, по которому течет ток I =5 А, помещена в однородное магнитное поле напряженностью H = 1000 А/м. Найти:1) магнитный момент р_т катушки; 2) вращающий момент М, действующий на катушку, если ось катушки составляет угол φ =30° с линиями поля.

415.Тонкий провод длиной l = 20 см изогнут в виде полукольца и помещен в магнитное поле (B = 10 мТл) так, что площадь полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. По проводу пропустили ток I =50 А. Определить силу F, действующую на провод. Подводящие провода направлены вдоль линий магнитной индукции.

416.Шины генератора длиной l =4м находятся на расстоянии d =10см друг от друга. Найти силу взаимного отталкивания шин при коротком замыкании, если ток I_к.з. короткого замыкания равен 5 кА.

417.Квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I =50 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В =10мТл). Определить изменение ДП потенциальной энергии контура при повороте вокруг оси, лежащей в плоскости контура, на угол = 180°.

418.Тонкое проводящее кольцо с током I = 40А помещено в однородное магнитное поле (В = 80 мТл). Плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. Радиус R кольца равен 20 см. Найти силу F,растягивающую кольцо.

419. Квадратная рамка со стороной а = 0,5 миз тонкого провода может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из сторон. Масса т рамки равна 20 г. Рамку поместили в однородное магнитное поле (В =0,1 Тл), направленное вертикально вверх. Определить угол α, на который отклонилась рамка от вертикали, когда по ней пропустили ток 1= 10 А.

420.По круговому витку радиусом R =5см течет ток I =20 А. Виток расположен в однородном магнитном поле (В = 40мТл) так, что нормаль к плоскости контура составляет угол с вектором В. Определить изменение ΔП потенциальной энергии контура при его повороте на угол φ= π /2 в направлении увеличения угла .

421.По тонкому кольцу радиусом R =10см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 50нКл/м. Кольцо вращается относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр, с частотой n = 10 с ^-1. Определить магнитный момент р_m, обусловленный вращением кольца.

422.Диск радиусом R = 8cм несет равномерно распределенный по поверхности заряд (σ = 100 нКл/м²).Определить магнитный момент р_m, обусловленный вращением диска, относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска. Угловая скорость вращения диска ω = 60 рад/с.

423.Стержень длиной l =20 см заряжен равномерно распределенным зарядом с линейной плотностью τ = 0,2 мкКл/м. Стержень вращается с частотой n = 10 с ^–1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Определить магнитный момент р_m , обусловленный вращением стержня.

424.Протон движется по окружности радиусом R = 0,5 см с линейной скоростью υ =10⁶м/с. Определить магнитный момент р_m, создаваемый эквивалентным круговым током.

425.Тонкое кольцо радиусом R =10 см несет равномерно распределенный заряд Q = 80 нКл. Кольцо вращается с угловой скоростью ω = 50 рад/с относительно оси, совпадающей с одним из диаметров кольца. Найти магнитный момент р_m, обусловленный вращением кольца.

426.Заряд Q = 0,1 мкКл равномерно распределен по стержню длиной l =50 см. Стержень вращается с угловой скоростью ω= 20 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Найти магнитный момент р_т, обусловленный вращением стержня.

427.Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра (протона) по окружности радиусом R = 53пм. Определить магнитный момент р_т эквивалентного кругового тока.

428.Сплошной цилиндр радиусом R = 4 см и высотой h=15см несет равномерно распределенный по объему заряд (ρ = 0,1 мкКл/м³). Цилиндр вращается с частотой n =10 с ^-1 относительно оси, совпадающей с его геометрической осью. Найти магнитный момент р_т цилиндра, обусловленный его вращением.

429.По поверхности диска радиусом R = 15 см равномерно распределен заряд Q = 0,2мкКл. Диск вращается с угловой скоростью ω = 30 рад/с относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить магнитный момент р_т, обусловленный вращением диска.

430.По тонкому стержню длиной l = 40 см равномерно распределен заряд Q = 60нКл. Стержень вращается с частотой n =12с ^-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через стержень на расстоянии а =l/3 от одного из его концов. Определить магнитный момент р_т, обусловленный вращением, стержня.

431Два иона разных масс с одинаковыми зарядами влетели в однородное магнитное поле, стали двигаться по окружностям радиусами R₁ = 3 см и R₂ = 1,73 см. Определить отношение масс ионов, если они прошли оди­наковую ускоряющую разность потенциалов.

432.Однозарядный ион натрия прошел ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ и влетел перпендикулярно линиям магнитной индукции в однородное поле (В = 0,5 Тл). Определить относительную атомную массу А иона, если он описал окружность радиусом R = 4,37 см.

433.Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 800 В и, влетев в однородное магнитное поле B = 47мТл, стал двигаться по винтовой линии с шагом h = 6см. Определить радиус R винтовой линии.

434.Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и, попав в однородное магнитное поле, стала двигаться по винтовой линии радиусом R= 1 см и шагом h = 4 см. Определить магнитную индукцию В поля.

435.Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U= 100 В и, влетев в однородное магнитное поле (B = 0,1 Тл), стала двигаться по винтовой линии с шагом h = 6,5см и радиусом R=1 см. Определить отношение заряда частицы к ее массе.

436.Электрон влетел в однородное магнитное поле (В = 200мТл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить силу эквивалентного кругового тока I_экв, создаваемого движением электрона в магнитном поле.

437.Протон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и влетел в однородное магнитное поле (В = 20 мТл) под углом α = 30° к линиям магнитной индукции. Определить шаг h и радиус R винтовой линии, по которой будет двигаться протон в магнитном поле.

438.Альфа-частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, стала двигаться в однородном магнитном поле (В = 50мТл) по винтовой линии с шагом h = 5 см и радиусом R=1см. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую прошла альфа-частица.

439.Ион с кин