Кандидат технических наук, зав.кафедрой высшей математики,
доцент В.И.Дроздов
Функциональные ряды: Методические указания и индивидуальные задания к М-12 / Курск. гос. техн. ун-т; Сост. Е.В.Журавлева. Курск, 2001. 30 с.
Излагаются методические рекомендации по выполнению модулю 12, в том числе и с использованием программного продукта MATHCAD, приведены индивидуальные задания для студентов.
Работа предназначена для студентов технических специальностей.
Табл. 7. Библиогр.: 8 назв.
Текст печатается в авторской редакции
ИД №06430 от 10. 12. 2001. ПЛД № 50-25 от 01. 04.97.
Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. Л. 1,56. Уч.-изд. л. 1,7. Тираж 100 экз. Заказ ………...
Курский государственный технический университет.
Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического
университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
2. Примеры выполнения заданий . ………………………………………….……26
2.1. Пример 1 ………………………………………...……………………….26
2.2. Пример 2 . ………………………………………………...……………...28
2.3. Пример 3 . …………………………………………………………...…...29
3. Контрольные вопросы . ………………………………………………..……….30
Библиографический список . ……………………………………………………...31
Введение
Данная работа предназначена для студентов, изучающих высшую математику и работающих в системе РИТМО, содержит теоретические упражнения, контрольные вопросы, расчетные задания и примеры выполнения заданий к модулю 12 «Функциональные ряды».
Теоретический материал, необходимый для выполнения заданий, можно найти в книгах, указанных в библиографическом списке.
При выполнении модуля каждый студент получает свой номер варианта n у преподавателя. Кроме параметра n в задании 7 используется параметр N – порядковый номер группы в потоке, а также используется функция MOD(n, q) – остаток от деления номера варианта n на заданное число q.
При комплектации индивидуальных заданий для каждого варианта используется трехуровневая система. Каждый уровень предлагает студенту свой набор задач. Их решение требует удовлетворительного, хорошего и отличного знания материала соответственно. Каждый студент, в зависимости от степени своей подготовленности, должен:
1) выбрать определенный уровень;
2) выполнить задания этого уровня.
Что необходимо сделать? Выполнить теоретическое упражнение и следующие практические задания:
для первого уровня – решить задания 1,3,4,6;
для второго уровня – решить задания 1,2,3,5,6;
для третьего уровня – решить задания 1-7.
1. Индивидуальные задания
1.1. Теоретические упражнения
1. Дайте определение функционального ряда. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании функционального ряда.
2. Дайте определение функционального ряда. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании функционального ряда.
3. Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
4. Докажите теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
5. Сформулируйте и докажите теорему об интервале сходимости степенного ряда.
6. Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда. Укажите способ определения радиуса сходимости. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости с использованием признака Даламбера.
7. Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда. Укажите способ определения радиуса сходимости. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости с использованием признака Коши.
8. Приведите формулу для ряда Тейлора. Сформулируйте и докажите условие, при котором этот ряд сходится и равен самой функции.
9. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании степенного ряда.
10. Вывести формулу разложения в ряд функции y = ex.
11. Вывести формулу разложения в ряд функции y = sin x.
12. Вывести формулу разложения в ряд функции y = cos x.
13. Вывести формулу разложения в ряд (1 + x)m.
14. Вывести формулу разложения в ряд функции y = ln(1 + x).
15. Дайте определение тригонометрического ряда, ряда Фурье для функции f(x) на [-p, p], для функции f(x) на .
16. Дайте определение тригонометрического ряда. Вывести коэффициенты Фурье для функции f(x) на [-p, p].
17. Дайте определение тригонометрического ряда. Вывести коэффициенты Фурье для функции f(x) на .
18. Дайте определение кусочно монотонной функции. Сформулируйте теорему о разложимости кусочно монотонной функции в ряд Фурье.
19. Дайте определение тригонометрического ряда. Приведите коэффициенты Фурье для четной и нечетной функции.
20. Сформулируйте и докажите теорему о сходимости ряда Фурье в данной точке.
21. Сформулируйте и докажите достаточное условие сходимости ряда Фурье.
1.2. Практические задания
1.2.1. Задание 1
Найти область сходимости функционального ряда .
Таблица 1.1
Индивидуальные задачи к заданию 1
n
fn(x)
n
fn(x)
Продолжение табл.1.1
Продолжение табл.1.1
Продолжение табл.1.1
Продолжение табл.1.1
1.2.2. Задание 2
Найти область сходимости функционального ряда .
Таблица 2.1
Индивидуальные задачи к заданию 2
n
fn(x)
n
fn(x)
Продолжение табл.1.2
Продолжение табл.1.2
Продолжение табл.1.2
Задание 3
Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x – x0.
Таблица 1.3
Индивидуальные задачи к заданию 3
n
f(x)
x0
n
f(x)
x0
Sin(x+3)
Ln(10x-3)
Ln(3x + 2)
e3x+2
ex
x2Cos(x + 1)
Cos(x-2)
x × Sin(2x + 1)
Ln(x + 2)
e2x+1
Ln(3x + 1)
0,2
-1
x arctg x
Ln(1 + 6x + 8x2)
Ln(2x + 5)
(3 + e-x)2
x Sin(x + 2)
-2
e3x-1
x – Ln(2x + 1)
Cos(3x – 1)
x Cos(x – 2)
Продолжение табл.1.3
Ln(2x2 + 3x +1)
e5x - 3
(x – 1)Cos x
x Sh 2x
Ln(3x + 4)
-1
-1
Ln(5x + 3)
(x - tgx) Cosx
e2 – 3x
Ln(3x2 + 4x +1)
(x - 1) Sin x
Ln(2x – 3)
e2x+3
Cos(x2 + 1)
e2x + 1
e3 – 2x
(1 + x)5
Ln(5x2 + 6x +1)
Sin(2x + 3)
-1
Ln(2x + 3)
-1
Sin(x2 + 1)
e4x + 1
(x – 1)6
(3 - ex)2
-1
Продолжение табл.1.3
Ln(12x2 + 7x + 1)
e6x - 1
Ln(6x2 + 5x + 1)
Cos(2x + 1)
Ln(10x2 + 7x + 1)
(1 + 2x)5
(2 + 3x)5
e2 – 5x
(Sh x – x)×6 - x3
x3 Ln x
Sin(2x + 1)
1.2.4. Задание 4
Вычислить значение функции f(x) в заданной точке x0 (f(x0)) с точностью до 0,001.
Таблица 1.4
Индивидуальные задачи к заданию 4
n
f(x0)
N
f(x0)
n
f(x0)
n
f(x0)
Sin 0,4
Sin 0,21
Sin 15°
Cos 0,31
Cos 0,26
Cos 0,22
Cos 0,24
Ln 2,26
Ln 1,1
Ln 1,05
Ln 3,03
Cos 18°
Cos 0,4
Cos 0,25
Cos 10°
Cos 0,21
e - 1/ 6
Ln 1,2
Ln 1,5
e - 0,3
e - 0,15
Sin 9°
e - 0,1
Sin 0,22
Ln 1,03
Ln 1,3
Sin 36°
Cos 9°
Sin 0,25
Sin 10°
Cos 15°
Ln 2,04
Ln 1,12
Cos 36°
Sin 18°
Ln 1,08
e - 0,4
Продолжение табл.1.4
Ln 2,08
Ln 1,125
Ln 5,625
Ln 2,25
Ln 5,25
Sin 12°
Ln 1,325
Cos 0,32
Sin 0,3
e - 0,325
e - 0,2
Cos 20°
e – 2 / 7
Cos 0,3
Sin 0,32
Cos 12°
Cos 0,23
e - 2 / 9
e - 0,25
Sin 6°
Sin 0,31
e - 1 / 7
Ln 3,324
Sin 20°
Cos 5°
e - 1 / 8
Ln 2,75
Ln 5,125
Sin 5°
e - 1 / 9
Sin 0,125
Cos 6°
Ln 1,625
Sin 0,23
Cos 0,125
1.2.5. Задание 5
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001.
.
.
.
с точностью до 0,001.
