Логические формулы

Вспомним некоторые простые факты из математической ло­гики. Те, кто не изучал этой дисциплины, смогут уяснить нуж­ный для дальнейшего материал непосредственно из этого пунк­та.

Перейдите на новый рабочий лист. Дайте ему имя "Логика".

ПРИМЕР 2.7.Логические выражения.Введем в ячейку А1 формулу =7>5. Она вернет значение ИСТИНА. Скопируем содержимое А1 в А2 и исправим в А2 формулу: = 3>5. Эта формула вернет значение ЛОЖЬ. Правые части обеих формул представляют со­бой высказывания, т.е. утверждения, относительно которых можно заключить, верны они или нет. Арифметические форму­лы, которые мы изучали в 2.1, высказываниями не являются: они предписывают, как по исходным данным вычислить значе­ние, и вопрос об их истинности или ложности не имеет смысла.

Рассмотрим другой пример. Введем в ячейку А4 число 2, а в ячейку В4 формулу = А4>3. Формула возвращает значение ЛОЖЬ. Введем в А4 число 6. Формула возвращает значение ИСТИНА. В В4 записан предикат, т.е. высказывание с пере­менными (в данном случае переменная одна). В зависимости от значения переменных предикат может принимать значения ИСТИНА и ЛОЖЬ. В этом примере формула как бы дает ответ на вопрос: "Число (или результат вычислений по формуле), хра­нящееся в ячейке А4, превышает 3?" В зависимости от значения А4 ответ будет ДА (ИСТИНА) или НЕТ (ЛОЖЬ).

Сравнение двух арифметических выражений, содержащих переменные, дает предикат. В формуле = А4>3 ее составные части (А4 и 3) можно считать арифметическими выражениями, только очень простыми. Более сложный пример: = (А4^л2-1) > (2*А4+1). В этом выражении скобки можно опустить, потому что арифметические операции имеют более высокий приоритет, чем операции сравнения, но скобки придают формуле наглядность. Операции сравнения сведем в таблицу (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Обратите внимание, что символ отношения "больше или равно" изображается двумя знаками: > и =. Причина в том, что на клавиатуре нет знака ³.

Высказывание и предикат имеют общее название — логическое выражение. Имеются логические операции, которые позволяют строить сложные логические выражения. Эти операции реализованы в Excel как функции. Вот перечень логических операций и соответствующих им функций Excel, расположенных в порядке убывания приоритета (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Здесь можно провести аналогию с арифметическими операторами: отрицанию соответствует унарный минус, конъюнкции — умножение, дизъюнкции — сложение. На самом деле в Excel приоритет логических операций не имеет значения, так как они реализованы в виде функций.

У логических функций аргументы могут принимать только два значения: ИСТИНА и ЛОЖЬ. Поэтому логические функции можно задать таблицей, где перечислены все возможные значения аргументов и соответствующие им значения функций. Такие таблицы называются таблицами истинности.

Таблица для функции НЕ представлена на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Таблица для функций И и ИЛИ имеет вид (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Функция НЕ может иметь только один аргумент, а функции И и ИЛИ могут иметь два и более аргументов.

ПРИМЕР 2.8.

В ячейке А6 (с именем z) записано число. Выяснить, принадлежит ли оно отрезку [2, 5].

Решение. Присвоим ячейке А6 имя z. Введем в А6 число 3. Сначала сконструируем логическое выражение, решающее задачу zÎ[2,5]: (z>2)Ù(z<5). Для того чтобы z принадлежал отрезку [2,5], нужно, чтобы одновременно были истинны два предиката: z > 2 и z < 5 . В ячейке В6 разместим формулу =И(z>=2,z<=5). В В6 получим значение ИСТИНА. Следует предостеречь от неверного решения: формулы =2<=Z<=5. Введите эту формулу в С6 и убедитесь, что она возвращает ЛОЖЬ! Коварство этой, на первый взгляд, такой естественной формулы в том, что Excel ничего не сообщает о ее некорректности.

ПРИМЕР 2.9.

В ячейке А6 (с именем z) записано число. Выяснить, при­надлежит ли оно одному из лучей на числовой оси: (-¥,2) или (5,¥).

Решение. Сконструируем логическое выражение, решающее задачу: z Î (-¥,2)Ú(5, ¥) <=> (z<2)Ú(z>5), где значок и обозначает операцию объединения множеств. Для того чтобы z принадлежал хотя бы одному из лучей, нужно, чтобы был ис­тинным хотя бы один из предикатов: z < 2 или z > 5. В ячейке D6 разместим формулу =ИЛИ(z < 2, z > 5). А6 содержит число 3, поэтому формула возвращает ЛОЖЬ.

Задачу можно было решить иначе с учетом того обстоятель­ства, что на рабочем листе есть формула проверки принадлеж­ности числа z отрезку [2, 5]. Упомянутые два луча составляют на числовой оси дополнение к этому отрезку. Введем в ячейку Е6 формулу =НЕ(В6). Убедитесь, вводя в ячейку А6 различные числа, что формулы в ячейках D6 и Е6 дают идентичные ре­зультаты. Мы воспользовались одним из законов Де Моргана:

Ø (а Ù b) = Øа Ú Øb.

Упражнение 2.6. Убедитесь на примерах, что в арифмети­ческих выражениях ИСТИНА ведет себя как число 1, а ЛОЖЬ как число 0. Убедитесь, что для операций сравнения это невер­но.

Упражнение 2.7. Убедитесь на примерах, что в логических выражениях число 1 ведет себя как ИСТИНА, а число 0 как ЛОЖЬ. Убедитесь, что вместо ИСТИНА можно указывать лю­бое число, отличное от 0 (для знакомых с языком Си в этом нет ничего удивительного).

На практике "в чистом виде" логические выражения, как правило, не используются. Логическое выражение служит пер­вым аргументом функции ЕСЛИ: