Электрическое поле. Напряженность поля.

Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Оно проявляется в том, что на помещенный в какую-либо точку электрический заряд будет действовать сила. Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда q_пр – небольшого по величине точечного заряда, который не вносит заметного перераспределения исследуемых зарядов. Для количественного определения электрического поля вводится силоваяхарактеристика – напряженность электрического поля.

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда.

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Последнее утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей. Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов. Разбив протяженные заряды на достаточно малые доли, любую систему можно свести к совокупности точечных зарядов. Вклад каждого из них в результирующее поле будет равен:

Электрическое поле можно описать, указав для каждой точки величину и направление вектора . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля. Электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности (рис 1.4,а) – линии (их также называют силовыми линиями). Линии поля для точечного заряда представляют совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рис 1.4,б).

Рис. 1.4

Силовые линии нигде кроме зарядов не начинаются и не заканчиваются; они начавшись на заряде, уходят в бесконечность (q>0), либо, приходя из бесконечности заканчиваются на заряде (q<0). Это свойство линий является общим для электростатических полей, т.е. полей созданных системой неподвижных зарядов: линии напряженности могут начинаться или заканчиваться на зарядах, либо уходить в бесконечность. В качестве примера применения принципа суперпозиции полей на рис. 1.5, изображена картина силовых линий поля электрического диполя – системы из двух одинаковых по модулю зарядов разного знака q и –q, расположенных на некотором расстоянии l.

Рис 1.5

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определенной густотой: число линий , пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям , должно быть равно модулю вектора . Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль которой образует угол α с вектором , равно , где E_n – проекция вектора на нормаль к площадке dS. Величина

,

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля, но и от выбора направления нормали.

Рис. 1.6

Поток вектора напряженности свозь сферическую замкнутую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в её центре равен

Этот результат справедлив для любой замкнутой поверхности. Если рассматривать произвольную поверхность, окружающую n зарядов, то в соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Следовательно,

Последняя формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме свозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε₀.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать. Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии, электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов(рис 1.7.).

Рис. 1.7

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

где τ – заряд, приходящийся на единицу длины.

Тогда напряженность поля определится как

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r < R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.8). В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали.

Рис.1.8

Поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме поток через основания (площади оснований равны и для основания Е_n совпадает Е)_, т.е равен 2ES. Заряд заключенный внутри построенной поверхности, равен σS, где σ – поверхностная плотность заряда. Согласно теореме Гаусса

, откуда

Напряженность поля Е не зависит от длины цилиндра, т.е. Е на любых расстояниях одинаково по модулю. Поле равномерно заряженной плоскости однородно. Если имеются две бесконечные параллельные разноименно заряженные плоскости с поверхностными плотностями +σ и –σ, то их поле найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Напряженность вне пространства окруженного плоскостями равна нулю. В области между плоскостями , поэтому результирующая напряженность