Позиционные системы счисления. Переход из одной системы счисления в другую. Использование систем счисления в цифровой технике. Понятие бита, байта.

Позиционная система счисления — система счисления, в которой значение каждого числового знака(цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

Позиционная система счисления определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием b также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).

Вывод общего метода перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Дано число F, представленное в двух системах счисления: с основанием P и с основанием Q. Тогда верно равенство:

F = a_nPⁿ + a_n-1P^n-1 + … + a₁P¹ + a₀P⁰ = b_mQ^m + b_m-1Q^m-1 + … + b₁Q¹ + b₀Q⁰ (2)

При этом все цифры a_i не превосходят P-1, а все цифры B_j не превосходят Q-1.

Предположим, что число F надо перевести из системы счисления P в систему счисления Q. Это означает, что все числа a_i нам известны и нужно найти все числа b_j. Разделим обе части равенства (2) на Q. С учетом того, что Q⁰=1 очевидно, что справа после деления будет остаток b₀, т.к. у всех остальных слагаемых есть общий множитель Q. Следовательно, разделив левую часть равенства (2)на Q, мы получим остаток, представляющий самую младшую цифру в системе счисления Q. После этого частное нужно снова поделить на Q – получим следующую цифру в системе счисления Q. И так далее. Самой последней получим самую старшую цифру.

В цифровых устройствах обработки информации используется двоичная система счисления с основанием 2, в которой используется два элемента обозначения: 0 и 1. Веса разрядов слева направо от младших разрядов к старшим увеличиваются в 2 раза, то есть имеют такую последовательность: 8421. В общем виде эта последовательность имеет вид:

…2⁵2⁴2³2²2¹2⁰,2^-12^-22^-3…

и используется для перевода двоичного числа в десятичное. Например, двоичное число 101011 эквивалентно десятичному числу 43:

2⁵·1+2⁴·0+2³·1+2²·0+2¹·1+2⁰·1=43

В цифровых устройствах используются специальные термины для обозначения различных по объёму единиц информации: бит, байт, килобайт, мегабайт и т.д.

Бит или двоичный разряд определяет значение одного какого-либо знака в двоичном числе. Например, двоичное число 101 имеет три бита или три разряда. Крайний справа разряд, с наименьшим весом, называется младшим, а крайний слева, с наибольшим весом, — старшим.

Байт определяет 8-разрядную единицу информацию, 1 байт=23 бит, например, 10110011 или 01010111 и т.д., 1 кбайт = 2¹⁰ байт, 1 Мбайт = 2¹⁰ кбайт = 2²⁰ байт.

Для представления многоразрядных чисел в двоичной системе счисления требуется большое число двоичных разрядов. Запись облегчается, если использовать шестнадцатеричную систему счисления.

Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число 16=2⁴, в которой используется 16 элементов обозначения: числа от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F. Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное достаточно двоичное число разделить на четырёхбитовые группы: целую часть справа налево, дробную — слева направо от запятой. Крайние группы могут быть неполными.

Каждая двоичная группа представляется соответствующим шестнадцатеричным символом (таблица 1). Например, двоичное число 0101110000111001 в шестнадцатеричной системе выражается числом 5C39.

Пользователю наиболее удобна десятичная система счисления. Поэтому многие цифровые устройства, работая с двоичными числами, осуществляют приём и выдачу пользователю десятичных чисел. При этом применяется двоично-десятичный код.

Двоично-десятичный код образуется заменой каждой десятичной цифры числа четырёхразрядным двоичным представлением этой цифры в двоичном коде (См. таблицу 1). Например, число 15 представляется как 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). При этом в каждом байте располагаются две десятичные цифры. Заметим, что двоично-десятичный код при таком преобразовании не является двоичным числом, эквивалентным десятичному числу.