Левая часть таблицы истинности постоянна, поэтому функцию можно задать вектором (столбцом) ее значений или номерами единичных или/и нулевых наборов. Единичные наборы – это наборы, на которых функция имеет значение 1. Нулевые наборы – это наборы, на которых функция равна 0. Например, на основании табл. 12 мажоритарную функцию можно задать так:
1) 00010111 (первая цифра соответствует значению функции при наборе 000).
2) единичные наборы: 3, 5, 6, 7.
3) нулевые наборы: 0, 1, 2, 4.
частично определенные функции задаются перечислением единичных и нулевых наборов. Например:
Единичные наборы: 1, 2, 4, 6.
Нулевые наборы: 3, 5.
На остальных наборах (0, 7) функция не определена.
К другим формам задания можно отнести также следующие разновидности графического представления логических функций:
– диаграммы Эйлера–Венна,
– отображения булевой функции n переменных на n–мерный куб,
– диаграммы двоичного решения,
– представление логической функции в виде графика соответствия,
– временные диаграммы переменных и функции.
Рассмотрим кратко эти формы задания логических функций.
Диаграммы Эйлера–Венна заимствованы у теории множеств. С их помощью удобно демонстрировать операции, аксиомы и законы булевой алгебры, но не следует использовать для построения доказательств тождеств, поскольку на них можно показать далеко не все. Диаграммы Эйлера–Венна удобны только при числе переменных не более трех – четырех.
На рис. 4 приведены диаграммы Эйлера–Венна для констант 0, 1 и функций И, ИЛИ, НЕ, где область, ограниченная кружком, соответствует одной переменной.
На рис. 5 приведена диаграмма Эйлера–Венна для мажоритарной функции
.
Рисунок 4 – диаграммы Эйлера–Венна констант 0, 1 и функций И, ИЛИ, НЕ
Рисунок 5–диаграмма Эйлера–Венна для мажоритарной функции
Другое геометрическое представлениелогической функции получается путем отображения логической функции n переменных на n–мерный куб.
Для отображения логической функции n переменных на n–куб устанавливается соответствие между термами СДНФ и вершинами n–куба. Вершины (наборы), на которых функция принимает единичное значение, выделяются жирными точками. На рис. 6 представлена в виде куба мажоритарная функция
.
Такое представление удобно только для n ≤ 3. Для n = 4 оно уже довольно сложное, поэтому для n ≥ 4 используют аналитическое представление n–кубов.
Рисунок 6 – куб мажоритарной функции
Третье геометрическое представление логических функций – это диаграмма двоичного решения, являющаяся разновидностью ориентированного графа, обеспечивающая полное, краткое и простое описание сложных логических функций. На рис. 7 приведена диаграмма двоичного решения функции
.
Рисунок 7 – диаграмма двоичного решения функции .
На рис. 7 прямоугольники с цифрами 0 и 1 соответствуют окончательным значениям функции. Узлы, обозначенные кружками, соответствуют переменным, от которых зависит функция, а цифры у ветвей – значениям этих переменных.
Четвертое графическое представление логической функции – это представление функции графиком соответствия. Такое представление было рассмотрено в п. 1.4.1.
Пятое графическое представление логической функции – это временные диаграммы переменных и функции.
Покажем построение временной диаграммы на примере функции, заданной табл. 5. (Для удобства изложения приведем табл. 5 повторно с указанием номеров наборов.)
Таблица5
№
a
b
f6
1) Изображаем n + 1 ось времени, где n – число переменных, и обозначаем их именами переменных и функции (в нашем случае n = 2 см. рис. 8).
2) Вводим фиктивное дискретное время и обозначаем интервалы времени номерами наборов в таблице истинности (для рассматриваемого примера номера такие 0, 1, 2, 3).
4) Используя таблицу истинности, строим временные диаграммы переменных и функции (см. рис. 8).
На интервале 0: a = 0, b = 0, f = 0;
На интервале 1: a = 1, b = 0, f = 1;
На интервале 2: a = 0, b = 1, f = 1;
На интервале 3: a = 1, b = 1, f = 0;
На интервале 0: a = 0, b = 0, f = 0.
Далее все повторяется.
Рисунок 8 – временные диаграммы функции
При чтении (анализе) временных диаграмм последовательно для каждого интервала определяем значения входных переменных и функции и заносим эти значения в таблицу истинности.
Замечания: Во временных диаграммах реальных схем
– наборы входных переменных не обязательно появляются последовательно, как на построенной диаграмме;
– изменения значений входных переменных и функции происходят не одновременно из–за наличия задержек сигналов в элементах схемы, реализующей логическую функцию.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие формы задания логических функций Вы знаете? Приведите примеры.
2. Какие табличные формы представления логических функций Вы знаете?
3. Что такое формула? В чем различие логической функции и ее формулы?
4. Приведите правила получения СДНФ по таблице истинности.
5. Расшифруйте название СДНФ. Приведите пример.
6. Приведите правила получения СКНФ по таблице истинности.
7. Расшифруйте название СКНФ. Приведите пример.
8. Поясните понятия элементарной конъюнкции, элементарной дизъюнкции и их ранга.
9. Что такое терм, минтерм и макстерм?
10. Какими свойствами обладают минтермы и макстермы?
11. Что такое конституента нуля и конституента единицы?
12. Что такое ДНФ? КНФ?
13. Как строится для логической функции диаграмма двоичного решения? Постройте диаграмму двоичного решения для функции
14. Как строятся временные диаграммы логических функций? Постройте временные диаграммы для функции
15. Как анализируются временные диаграммы логических функций? Приведите пример.
.
.
