Функции двух переменных

Все возможные полностью определенные логические функции двух переменных представлены в табл. 2.

Таблица 2

№

f₀

f₁

f₂

f₃

f₄

f₅

f₆

f₇

f₈

f₉

f₁₀

f₁₁

f₁₂

f₁₃

f₁₄

f₁₅

Обозначение

↓

b←a

a←b

a→b

b→a

Здесь функции f₃, f₅, f₁₀, f₁₂зависят только от одной переменной, следовательно, они являются вырожденными также как f₀ и f₁₅, которые не зависят ни от одной переменной.

Кроме операций, определенных сигнатурой, в булевой алгебре сегодня применяют и другие операции.

Операция это функция, все аргументы и значение которой принадлежат одному и тому же множеству. В булевой алгебре этим множеством является основное множество В = {0, 1}.

Вот обозначения операций, применяемых при формировании логических функций:

– отрицание – инверсия (НЕ), иногда обозначается апострофом, например, так ;

– конъюнкция (И), применяют и такие обозначения: &, · (точка). довольно часто конъюнкция никак не обозначается, например, ab. В дальнейшем, если это будет возможно, будем применять именно такой способ задания конъюнкции.

– дизъюнкция (ИЛИ), иногда обозначают дизъюнкцию символом +;

– стрелка Пирса (ИЛИ–НЕ);

ï – штрих Шеффера (И–НЕ);

Å – сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ);

– эквивалентность (другое обозначение этой операции~);

← – запрет (для f₄ – запрет a: если b = 0, то f₄ = a, если b = 1, то f₄ = 0);

→ – импликация (для f₁₁ – a влечет b: если а = 0, то f₁₁ = 1, если а = 1, то f₁₁ = b).

Анализируя табл. 2, можно заметить, что функции 0, 1, а, , b, аналогичны функциям одной переменной, функции a←b, b→a отличаются от функций b←а, a→b перестановкой переменных, поэтому рассмотрим восемь функций:

f₁ = a↓b – функция Пирса (функция Вебба, функция Дагера);

f₄ = a←b – запрет;

f₆ = aÅb – сложение по модулю 2;

f₇ = aïb – штрих Шеффера;

f₈ = a b – конъюнкция;

f₉ = – эквивалентность;

f₁₁ = a→b – импликация;

f₁₄ = a b – дизъюнкция.

Сравнение функций f₁и f₁₄, f₄ и f₁₁, f₆ и f₉, f₇ и f₈ по их значениям в табл. 2 показывает, что

f₁ = , f₄ = , , f₇= .

Надчеркиванием обозначены инверсные функции (см. п. 1.4.2).

Из этого сравнения видно, что имеется только четыре оригинальных функции f₁₄, f₁₁, f₆, f₇. Однако мы рассмотрим свойства всех восьми функций. Для удобства проверки свойств приведем также таблицы этих функций, называемые таблицами истинности (табл. 3 ... 10).

Таблицы истинности состоят из двух частей: в левой части располагаются входные наборы в порядке возрастания их номеров (в таблицах малых размеров номера наборов обычно не показывают), в правой части – значения функции.

Таблица3
a	b	f₁