Основные логические операции

В общем случае, логико-математические модели устройств будут представлены системами булевых функций. Причём число функций будет определяться количеством выходных сигналов устройства, а число аргументов каждой из функций - количеством входных сигналов, которые влияют на значения соответствующего выходного сигнала (и соответствующей функции).

Допустим, что некоторое комбинационное устройство имеет n входов и m выходов. Поставим входным сигналам в однозначное соответствие логические (входные) переменные х₁, х₂, …х_n, а выходным сигналам − функции Y₁, Y₂, …Y_m (выходные переменные). Тогда устройство можно описать следующей системой функций (его логико-математической моделью) [2-5]:

(1.1)

Система (1.1) соответствует случаю, когда все функции зависят от полного множества аргументов, причём каждая функция представлена в неявной форме. Функционалы F₁, F₂,…,F_n, составляются из символов алгебры логики и неявно отображают зависимости функций от аргументов. Возможны варианты, когда некоторые из функций зависят от некоторых подмножеств полного множества аргументов.

Множество логических функций n переменных можно образовать посредством трех основных логических операций:

1) логическое отрицание (инверсия) - НЕ;

2) логическое сложение (дизъюнкция) - ИЛИ;

3) логическое умножение (конъюнкция) - И.

Более сложные логические преобразования можно свести к указанным операциям [6].

Функция НЕ - одноместная логическая операция, определяемая как логическоеотрицание (другое название - инверсия). Обозначение . Встречаются и другие обозначения: Y=НЕа; Y= ; . Функция отрицания равна 1, когда ее аргумент равен 0, и наоборот:

.

Если утверждение ОТКРЫТО истинно, то утверждение ЗАКРЫТО будет ложно, и наоборот. Отрицание отрицания аргумента равно самому аргументу: НЕ (НЕ ОТКРЫТО)=ОТКРЫТО, или если

то

Функция ИЛИ - как минимум двухместная логическая операция, определяемая как логическаясумма (другие названия: дизъюнкция, OR). Это такое сложное высказывание, которое ложно только в том случае, когда ложны высказывания, от которых оно зависит, в остальных случаях оно истинно. Функция ИЛИ равна 1, если хотя бы один из ее аргументов равен 1. Обозначение: . Используемые иногда обозначение "+" и название функции "логическое сложение" неудачны, и пользоваться ими следует с осторожностью, поскольку в сложных случаях дизъюнкция будет смешиваться с двумя другими операциями: арифметическим суммированием и сложением по модулю 2.

В русском языке функция дизъюнкции выражается союзом "или" во фразах типа: «МЫ ПОПАДАЕМ НА ТОТ БЕРЕГ, ЕСЛИ РЕЧКА МЕЛКАЯ ИЛИ МОСТ ЦЕЛ». Формальная запись ТБ=РМ МЦ.

Функция И - как минимум двухместная (т.е. зависящая от двух переменных) логическая операция, определяемая как логическое произведение (другие названия: конъюнкция, совпадение, AND). Это такое сложное высказывание, которое истинно только в том случае, когда истинны высказывания, от которых оно зависит, в остальных случаях оно ложно. Обозначение:

.

Функция И равна 1 тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны 1.

Союз "И" естественного языка, как правило, выражает именно это отношение, например: ЛИФТ ПОЙДЕТ, если ДВЕРЬ ЗАКРЫТА ИКНОПКА НАЖАТА, или в аналитической записи: , где L - выходной сигнал на двигатель лифта; d - входной сигнал закрытия двери; k - входной сигнал нажатия кнопки.