Импликанты булевой функции. Системы импликант

Решение задачи минимизации булевой функции методом Квайна и усовершенствованным методом Квайна-Мак-Класки базируется на понятиях импликант и их систем.

Определение. Булева функция g(X) называется импликантой булевой функции f(X), если для любого набора аргументов, на которых g(X)=1, f(X) также равна единице.

Свойства импликант:

1) Между импликантой и самой функцией существует отношение включения g(X)Ì f(X).

2) Можно утверждать, что для любого набора аргументов, на котором функция равна нулю, ее импликанта также равна нулю.

3) Если g(X) и j(X) являются импликантами функции f(X), то их дизъюнкция также является импликантой этой функции.

Простейшими примерами импликант могут служить конъюнктивные термы, входящие в произвольную ДНФ данной функции.

Пример: для (#)

импликантами являются

Произвольная дизъюнкция этих термов также является импликантой функции.

Определение. Простой (первичной) импликантой булевой функции называется конъюнктивный терм, который сам является импликантой этой функции, но никакая его собственная часть уже не является импликантой этой функции.

Определение. Под собственной частью терма понимается новый терм, полученный из исходного, путем вычеркивания произвольного числа букв.

Для данного примера функции (#) простыми импликантами являются:

Множеству простых импликант можно поставить в соответствие множество максимальных кубов.

Определение. Дизъюнкция всех простых импликант булевой функции представляет собой ДНФ этой функции, которая называется сокращенной - СДНФ.

Для функции (#) из приведенного примера СДНФ:

Понятие «сокращенная» присвоено ДНФ в том смысле, что она, как правило, содержит меньшее количество букв и термов по сравнению с КДНФ. Для нашего примера КДНФ содержит 15 букв и 5 термов, а СДНФ - 8 букв и 4 терма.