Одно уравнение с одним неизвестным

Рассмотрим одно алгебраическое уравнение с одним неизвестным х, вида:

f(x) = 0 (3),

например, sin(x) = 0.

Для решения таких уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root( ), которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента.

- root(f(х),х);

- root(f(х),х,а,b);

Лекция 9 45

f(х) — скалярная функция, определяющая левую часть уравнения (3); х — скалярная переменная, относительно которой решается уравнение; а,b — границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

В первом случае необходимо задать начальное значение переменной х, просто предварительно присвоить х некоторое число. Корень уравнения ищется вблизи этого числа.

На Рис. 25 приведен пример решения уравнения sin(x) = 0,при начальном приближении х = 0,5.

x:= 0.5

f(x) := sin(x)

solution:= root(f(x) , x) solution= 0

Рис. 25. Поиск корня нелинейного алгебраического уравнения.

Хотя уравнение имеет бесконечное множество корней xn= n×π(n = 0, ±1, ±2,...), MathCAD находит только один из них, х = 0, наиболее близкий к начальному приближению х=0.5.

Если задать другое начальное значение, например х = 3, то решением будет другой корень уравнения х = πи так далее.

Таким образом, для поиска корня требуется его предварительная локализация. Это связано с особенностями численного метода решения уравнения - метода секущих.

Если уравнение неразрешимо, то будет выдано сообщение об ошибке.

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал [а,b], внутри которого корень заведомо находится. В этом случае следует использовать функцию root( ) с четырьмя аргументами (Рис. 26.). Начальное значение х присваивать не нужно, так как поиск корня осуществляется на интервале [а,b]. Функцию f(х) можно записать в теле функции root(

) в явном виде (Рис. 26.).

Рис. 26. Поиск корня алгебраического уравнения на заданном интервале.

Лекция 9 46

Когда root( ) имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

- внутри интервала [а,b] не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно;

- значения f(а) и f(b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Если уравнение не имеет действительных корней, но имеет мнимые, то их также можно найти.