Системы линейных алгебраических уравнений

Множество, если не сказать большинство, задач вычислительной математики сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида:

аi1х1+аi2х2+. . .+ainхn= bi, где i = 1, 2, …, n (1)

В матричной форме СЛАУ записывается в виде:

А×х = В (2)

где А – матрица коэффициентов СЛАУ размерности n х n,

х — вектор неизвестных, В – вектор правых частей уравнений.

СЛАУ имеет единственное решение, если матрица коэффициентов А является невырожденной, (несингулярной), то есть если ее определитель не равен нулю.

В MathCAD СЛАУ можно решить тремя способами:

- с помощью обратной матрицы (Рис. 15);

- с помощью встроенной функции lsolve( ) (название lsolve происходит от line solving) (Рис. 16);

- с помощью вычислительного блока Given/Find (Рис. 17).

Например, нужно решить систему линейных алгебраических уравнений вида:

.

Система состоит из трех уравнений с тремя неизвестными. Проиллюстрируем решение системы перечисленными тремя методами.

Метод обратной матрицы

Задаем матрицу коэффициентов А и вектор правых частей В.

Лекция 9 40

æç 1

5 2÷ö

æç 1÷ö

A:=ç 0.7 12 5÷

b:=ç 2.9÷

ç 3 0 4÷

ç 3.1÷

è ø è ø

Записываем формулу вычисления корней, через обратную матрицу и выводим результаты:

æç xö÷

-

ç y÷ := A 1×b

ç z÷

è ø

x= -0.186

y= -0.129

z= 0.915

Рис. 15. Решение СЛАУ методом обратной матрицы.

Метод встроенной функции lsolve( ).

Задаем матрицу коэффициентов А и вектор правых частей В, если они еще не заданы и выводим результат, используя вычислительную функцию lsolve( ):

Рис. 16. Решение СЛАУ с помощью встроенной функции lsolve( ).

Метод решающего блока Given/Find.

Задаем начальные приближения для неизвестных

(любые числа)

Вводим ключевое слово Given

Переписываем систему уравнений в виде логических равенств, используя знак сравнения

(Булево равенство) , который вводится

комбинацией клавиш <Ctrl> + < = > или кнопкой на панели

Лекция 9 41

Выводим результат, используя функцию Find( ),

причем число аргументов функции Find( ) должно быть равно числу неизвестных.

Рис. 17. Решение СЛАУ использованием вычислительного блока Given/Find.

Задание начальных условий необходимо, так как решающий блок Given/Find

использует итерационные методы вычислений.

Корни СЛАУ, полученные всеми тремя методами должны совпадать.

Встроенные операторы суммирования и произведения.

Оператор	Клавиши	Описание
å =	<Ctrl>+<Shift>+<4>	Сумма
å	<Shift>+<4>	Сумма ранжированной переменной
Õ =	<Ctrl>+<Shift>+<3>	Произведение
Õ	<Shift>+<3>	Произведение ранжированной переменной

Эти операторы вводятся нажатием соответствующих кнопок на панели Calculus

(Вычисления) , которая вызывается с панели Math (Математика) .

Лекция 9 42