Теоретическое введение

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени.

В зависимости от физической природы колебательного процесса различают механические и электромагнитные колебания. Система, в которой происходят колебания, называется колебательной системой.

Колебания называются свободными (собственными), если они происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему. Колебания называются вынужденными, если на систему оказывается периодическое внешнее воздействие.

Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих состояние колебательной системы и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Время, за которое в системе совершается одно полное колебание, называют периодом колебаний (T, с). Величина, равная числу полных колебаний за единицу времени, называется частотой колебаний (ν, Гц):

Циклической или круговой частотой называется величина ω, равная:

При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины s от времени t удовлетворяет условию:

Периодические колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется с течением времени по закону косинуса или синуса:

или

Здесь - циклическая частота колебаний, A – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия (амплитуда колебаний), φ(t) = ωt+φ₀ – фаза колебаний, φ₀ – начальная фаза.

График гармонических колебаний представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График гармонических колебаний

При гармонических колебаниях полная энергия системы с течением времени не изменяется. Можно показать, что полная энергия механической колебательной системы при гармонических колебаниях равна:

Гармонически колеблющаяся величина s(t) подчиняется дифференциальному уравнению:

, (1)

которое называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Если какой-либо процесс описывается уравнением такого вида, то этот процесс представляет собой гармоническое колебаний с частотой ω.

Собственные колебания некоторых физических систем при определенных условиях являются близкими к гармоническим. При этом частота собственных колебаний определяется физическими параметрами системы (например, массой груза и упругостью пружины для пружинного маятника). Значения амплитуды и начальной фазы зависят от начальных условий в системе.

Рассмотрим собственные колебания твердого тела, подвешенного вертикально на упругих нитях.

Если повернуть это тело на некоторый угол φ вокруг вертикальной оси и отпустить, то момент упругих сил, возникающий при закручивании нитей подвеса, будет стремиться вернуть тело в исходное положение, и в системе возникнут крутильные колебания. Такую систему называют крутильным маятником.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для крутильного маятника:

(2)

Здесь М – момент действующих на тело сил, взятых относительно оси вращения; I – момент инерции тела относительно той же оси; - угловое ускорение тела.

При условии, что силы трения в системе пренебрежимо малы, а деформация нитей подвеса является упругой, для определения M можно использовать закон Гука. Для деформации кручения он имеет вид:

где k – коэффициент упругости, φ – угол закручивания нитей подвеса.

С учетом этого уравнение динамики вращательного движения (2) запишется в виде:

Преобразовав это уравнение, получаем:

Сравнив полученное уравнение с уравнением (1), можно сделать вывод о том, что оно представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний с циклической частотой:

и периодом:

(3)

Из формулы (3) следует, что период собственных колебаний крутильного маятника определяется коэффициентом упругости нитей подвеса k и моментом инерции вращающегося тела I относительно оси вращения. В данной работе экспериментально исследуется зависимость периода колебаний крутильного маятника от величины его момента инерции.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси:

Для протяженных тел момент инерции определяется как сумма моментов инерции отдельных материальных точек (элементарных масс Δm_i), на которые можно разбить тело

В предельном случае, когда число элементарных масс стремится к бесконечности, сумма переходит в интеграл

, (4)

где ρ – плотность, V – объем тела; ρdV – масса бесконечно малого элемента объема dV твердого тела.

Как видно из определения, момент инерции тела есть величина аддитивная; момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей; момент инерции системы тел равен сумме моментов отдельных тел.

Используя формулу (4), можно вывести формулы для моментов инерции часто встречающихся твердых тел правильной геометрической формы массой m.

Так, момент инерции сплошного цилиндра радиуса R относительно оси симметрии:

. (5)

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара:

. (6)

Моменты инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно осей симметрии (см. рисунок 2) равны соответственно:

(7)