Стоячая волна возникает в результате наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях, при этом вторая волна может возникнуть при отражении первой волны от преграды.
Уравнения бегущей и отраженной волн, распространяющихся вдоль оси ОХ, можно записать следующим образом:
S1 = A cos(ωt-kx), S2 = A cos(ωt+kx+φ),
где S1 и S2 – смещение точек среды, имеющих координату х, в момент времени t; ω – циклическая частота колебаний (ω = 2π/Т, где Т – период колебаний); А – амплитуда колебаний; k – волновое число (k = 2π/λ, где λ– длина волны); φ – изменение фазы волны при отражении.
При наложении волн выражение для смещения точки в стоячей волне будет иметь вид:
S = S1+S2 = ± B cos(ωt+φ/2), (1)
где В – амплитуда стоячей волны:
B = |2A cos(kx+φ/2)|. (2)
Из выражения (2) следует, что амплитуда стоячей волны является периодической функцией координаты и не зависит от времени.
Если все точки среды в бегущей волне совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, то все точки среды в стоячей волне колеблются одновременно, но с различными амплитудами. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами стоячей волны, а точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой Bmax=2A, - пучностями.
Рассмотрим случай отражения волны от среды с большим волновым сопротивлением (от более плотной среды). При этом фаза волны при отражении изменяется на противоположную (φ = -π). Этот случай называется отражением с потерей полуволны.
Подставив φ = -π в выражения (1) и (2), получим:
S = ± B sin ωt, (3)
где
B = |2A sin kx|. (4)
Найдем координаты узлов стоячей волны. Для этого в уравнении (4) положим В = 0. Тогда sin kx = 0, откуда следует, что kx = mπ, где m = 0, 1, 2 …, и
xуз = mπ/k = mλ/2 = 2mּ(λ/4). (5)
Координаты пучностей найдем из условия: B = Bmax= 2A. Таким образом, для пучностей sin kx = ± 1, следовательно kx = (2m + 1)π/2. Определим из этого уравнения координаты пучностей:
xпучн= (2m + 1)π/(2k) = (2m + 1) ּ(λ/4). (6)
Расстояние между двумя соседними узлами (или двумя соседними пучностями) равно λ/2. Расстояние между соседними узлом и пучностью равно λ/4.
Аналогичные рассуждения для случая отражения волны от менее плотной среды (φ = 0) показывают, что при отражении без потери полуволны узлы и пучности поменяются местами по сравнению с рассмотренным случаем φ = -π. Стоячие волны возникают при колебаниях струн, стержней, воздушных столбов, мембран и т.п.
Рассмотрим струну длины L, концы которой закреплены. Обозначим скорость распространения изгибных волн в струне V. При возбуждении колебаний на струне установится стоячая волна. При этом на концах будут находиться узлы, а между ними – одна или несколько пучностей. Так как расстояние между узлами равно λ/2, то на длине струны должно уложиться целое число полуволн (L = mλ/2), то есть на струне могут возникать только такие стоячие волны, у которых длина волны λ =2L/m (m = 1, 2, 3 …). Используя формулу связи длины волны с частотой колебаний и скоростью распространения волны λ = V/ν, получим формулу для определения собственных частот колебаний струны:
ν = V /λ = mV/( 2L). (7)
Мы приходим к выводу, что в системе, на которую наложены определенные граничные условия, возможны лишь определенные дискретные значения частот собственных колебаний.
Скорость распространения поперечных колебаний в струне определяется формулой:
(8)
где F, d, ρ – сила натяжения, диаметр и плотность материала струны соответственно. Подставляя значение скорости в формулу (7), получим выражение для собственных частот колебаний струны:
где m = 1, 2, 3 … (9)
Наименьшая собственная частота ν1 (m = 1) называется основной частотой или основным тоном. Более высокие частоты, кратные ν1, называются обертонами или гармониками.
На рис.1 представлены стоячие волны, частоты которых соответствуют основному тону (m = 1) – рис.1а, первому обертону (m = 2) – рис.1б, второму обертону (m = 3) – рис.1в.
В любой момент времени профиль стоячей волны представляет собой синусоиду. В случае струны форма кривых на рисунках будет такой же, как и действительная форма изгибов струны при колебаниях, так как волны в данном случае являются поперечными.
S2 = A cos(ωt+kx+φ),
(8)
где m = 1, 2, 3 … (9)
