Теоретическое введение

Магнитным потоком через бесконечно малую площадкуdSназывается скалярная величина, равная:

, (1)

где B – индукция магнитного поля, α – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к площадке dS (рис. 1). Магнитный поток Φ через произвольную поверхность S равен:

, (2)

а в случае однородного поля и плоской площадки:

. (3)

В 1834 г. М. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, заключающееся в следующем: при любом изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый проводящий контур, в нём возникает ЭДС (ЭДС индукции) Ε_i и протекает индукционный ток. Согласно закону Фарадея (закону электромагнитной индукции), ЭДС индукции Ε_i существует только в те промежутки времени, когда магнитный поток изменяется, и равна (с обратным знаком) скорости изменения магнитного потока:

, (4)

где dΦ/dt – cкорость изменения магнитного потока.

Знак минус показывает, что если Φ возрастает, то есть dΦ/dt > 0, то Ε_i < 0 и наоборот. Этот знак выражает правило Ленца, определяющее направление индукционного тока: индукционный ток имеет такое направление, что своим магнитным полем противодействует изменению магнитного потока, вызывающему этот ток. Правило Ленца согласуется с законом сохранения энергии.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре (витке), создаёт вокруг себя магнитное поле, пронизывающее сам этот контур. Сцеплённый с контуром магнитный поток пропорционален силе тока, то есть:

Φ ~ I (5)

Отношение магнитного потока, сцеплённого с контуром, к силе тока, создающего этот магнитный поток, называется индуктивностью контура. Это – статическое определение индуктивности:

L = . (6)

Если контур состоит из N витков, намотанных на один каркас, то такой контур называют индуктивной катушкой и вводят понятие потокосцепления Ψ:

Ψ = Φ∙N , (7)

где под Φ понимают магнитный поток через один виток. В этом случае индуктивность контура определяется соотношением:

L = (8)

Индуктивность измеряется в генри (Гн = Вб/А = В∙с/А = Ом∙с).

Так как внутри катушки магнитное поле направлено вдоль её оси, то есть перпендикулярно плоскости витков, формула (3) принимает вид:

Φ = B∙S . (9)

Как известно, индукция магнитного поля связана с напряжённостью:

В = μμ_оН , (10)

где μ – магнитная проницаемость среды (сердечника, помещённого в катушку), μ_о = 4π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная. Напряжённость магнитного поля внутри длинной катушки – соленоида (l >>d) равна:

Н = I∙n , (11)

где n = N/l – число витков на единицу длины, l – длина соленоида, d – его диаметр.

Решая совместно (7), (8), (9), (10), (11) получим формулу для индуктивности длинного соленоида:

L = μ_oμn²V , (12)

где V = l∙S = l∙πd²/4 – объём магнитного поля внутри соленоида.

Если соленоид включить в цепь постоянного тока и измерить силу тока I в цепи и напряжение U, приложенное к соленоиду, то по закону Ома для постоянного тока можно найти сопротивление R проволоки, из которой он изготовлен. Это сопротивление называется активным или омическим:

(13)

При включении соленоида в цепь переменного тока магнитный поток, пронизывающий витки катушки, изменяется. Это по закону Фарадея приводит к возникновению в катушке ЭДС индукции (в данном случае называемой ЭДС самоиндукции) Ε_si. В результате возникаетиндукционный ток, по правилу Ленца направленный против «основного» тока в катушке, если он («основной» ток) возрастает, и в том же направлении, если он убывает. Таким образом, при включении соленоида в цепь переменного тока индукционный ток препятствует возрастанию и убыванию «основного» тока. В результате в цепи переменного тока сопротивление катушки больше, чем в цепи постоянного тока, и закон Ома для действующих значений тока I и напряжения U записывается в виде:

, (14)

где Z – полное сопротивление цепи, определяемое формулой:

, (15)

где ω = 2πf – циклическая частота, f – частота переменного тока (в нашем случае f = 50,0 Гц), X_L = ωL – так называемое индуктивное сопротивление.

Закон Фарадея для ЭДС самоиндукции можно записать в виде:

, (16)

или, используя (8), Е_si = -d(LI)/dt. В случае, когда L не зависит от силы тока I, формула ЭДС самоиндукции принимает вид:

. (17)

На основании формулы (17) можно дать динамическое определение индуктивности: величина, равная модулю отношения ЭДС самоиндукции Е_si, возникающей в контуре, к скорости изменения силы тока dI/dt в нём, называется индуктивностью контура:

. (18)

Индуктивность статическая равна динамической, если она не зависит от силы тока. Это возможно, если в катушке нет сердечника из ферромагнитного материала.

При наличии такого сердечника его магнитная проницаемость μ является сложной функцией напряжённости магнитного поля Н (рис. 2), которая зависит от силы тока I (см. формулу (11)), и поэтому индуктивность является сложной функцией I.

Из формулы (15) следует формула для расчёта индуктивности:

. (19)