Энергия зарядов, проводников, конденсатора и электростатического поля. Объемная плотность энергии

1. Энергия системы точечных неподвижных зарядов. Электростатические силы консервативны и система зарядов обладает потенциальной энергией. Пусть заряды Q₁ и Q₂ находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией

,

где φ₁₂ и φ₂₁ – соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q₂ в точке нахождения заряда Q₁ , и наоборот.

; .

Поэтому

W₁ = W₂ =W = Q₁ φ₁₂ = Q₂ φ₂₁ = ½ (Q₁ φ₁₂ + Q₂ φ₂₁).

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q₃ , Q₄ , …, Q_n, можно убедиться, что энергия взаимодействия системы зарядов равна

,

где φ_i – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i , всеми зарядами, кроме i-го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого Q, C, φ.

Увеличим заряд на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности к поверхности проводника, затратив на это работу, равную

dA = φdQ = C φd φ

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала равного φ необходимо совершить работу

Энергия заряженного проводника будет равна этой работе

Учитывая, что , эту энергию можно представить в виде

3. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией

где Q - заряд конденсатора, С – его емкость и Δφ – разность потенциалов между обкладками.

Используя выражение для энергии, можно найти механическую (пондеромоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу равную

dA =Fdx

за счет уменьшения потенциальной энергии Fdx = - dW, откуда

.

Подставляя в формулу энергии выражение емкости

, получим

.

Дифференцируя W по х, найдем силу F

,

где знак “минус“ указывает, что сила F стремится уменьшить расстояние между пластинами, т.е. является силой притяжения. Подставляя выражение плотности зарядов на пластинках , получим .

Учитывая напряжённость поля, что Е = , получим

.

Давление на пластины диэлектрика, помещенные в зазоре конденсатора, будет

4. Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу энергии плоского конденсатора , используя формулы

и Δφ = Еd.

Получим ,

где V – объем пространства между пластинами конденсатора, в котором сосредоточена энергия его поля W.

Объемную плотность энергии поля w – это энергия, заключённая в единице объёма электрического поля и она равна

.

Единица измерения [Дж/м³].

Видно, что объемная плотность энергии поля зависит только от характеристик поля и среды.