Означення 6. Алгебри G1=(A,W1) G2=(B,W2) називаються алгебрами одного типу, якщо існує взаємно однозначне відображення f: W1®W2, таке що, коли wn – n-арна операція з W1, то f(wn) – n-арна операція з W2.
Наприклад, алгебри G1=(N,{+,!}) та G2=(Z,{-,f1}), де f1(x)=2x+3, є алгебрами одного типу. Дійсно, побудуємо таке взаємно однозначне відображення F множини {+,!} у множину {-,f1}: F(+)=-, F(!)=f1. Бачимо, що + та F(+) – бінарні операції, ! та F(!) – унарні операції.
Прийнято позначати сигнатури алгебр одного типу однаковими іменами.
Означення 7. Нехай G1=(A,W) G2=(B,W) – алгебри одного типу, h:A®B. Відображення h називається гомоморфізмом алгебр G1 та G2 (гомоморфним відображенням алгебри G1 у алгебру G2), якщо для будь-якої операції fn із сигнатури алгебри G1 та для будь-яких елементів а1,…аn носія алгебри G1 виконується умова h(fn(а1,…аn))=fn(h(а1),…,h(аn)).
Тут символ fn у правій частині рівності означає операцію із сигнатури алгебри G2, що зв’язана бієкцією, яка відображує множину операцій алгебри G1 у множину операцій алгебри G2, з одноіменною операцією з лівої частини рівності (зауважимо, що алгебри G1 та G2 одного типу).
Якщо існує гомоморфізм алгебр G1 та G2, то такі алгебри називаються гомоморфними.
Якщо гомоморфне відображення h алгебри G1 у алгебру G2 є взаємно однозначним, то h називається ізоморфізмом алгебр G1 та G2 (ізоморфним відображенням алгебри G1 у алгебру G2).
Якщо існує ізоморфізм алгебр G1 та G2, то такі алгебри називаються ізоморфними.
Означення 8. Нехай G=(A,W) та H=(B,W) – алгебри, h – гомоморфне відображення алгебри G у алгебру Н й h є сюр’єкцією. Тоді h називається гомоморфним відображенням алгебри G на алгебру Н.
Нехай, наприклад, G1=(Z,+), G2=({-1,1},´). Зазначимо, що G1 та G2 є алгебрами одного типу. Визначимо відображення h множини Z у множину {-1,1} таким чином: h(n)=1, якщо n парне, h(n)=-1, якщо n непарне. Перевіримо, чи є h гомоморфним відображенням алгебри G1 у алгебру G2. Для цього треба перевірити, чи виконується для будь-яких цілих чисел n та m рівність h(+(n,m))=´(h(n),h(m)) (або у більш звичному вигляді h(n+m)=h(n)´h(m)). Щоб знайти h(n), h(m), h(n+m), треба знати, якими є числа n та m (парними чи непарними). Число n може бути або парним, або непарним; також й число m може бути або парним, або непарним. Отже, можливі такі випадки:
1) n та m парні,
2) n та m непарні,
3) n парне, m непарне,
4) m парне, n непарне.
Перевіримо рівність h(n+m)=h(n)´h(m) у кожному з цих випадків, обчисливши її праву та ліву частини. У випадку 1 маємо: h(n)=h(m)=1 й h(n)´h(m)=1; оскільки n та m парні, то n+m також парне, а тому h(n+m)=1; отже рівність виконується. У випадку 2 маємо: h(n)=h(m)=-1 й h(n)´h(m)=1; оскільки n та m непарні, то n+m парне, а тому h(n+m)=-1; отже рівність виконується. У випадку 3 маємо: h(n)=1, h(m)=-1 й h(n)´h(m)=-1; оскільки n парне, а m непарне, то n+m непарне, а тому h(n+m)=-1; отже рівність виконується. У випадку 4 маємо: h(n)==1, h(m)=1 й h(n)´h(m)=-1; оскільки n непарне, а m парне, то n+m непарне, а тому h(n+m)=-1; отже рівність виконується.Таким чином, доведено, що задане відображення h є гомоморфним відображенням алгебри G1 у алгебру G2. Відображення h сюр’єктивне, тому воно є гомоморфним відображенням алгебри G1 на алгебру G2. Відображення h не є взаємно однозначним, тому воно не являється ізоморфізмом алгебр G1 та G2.
Розглянемо приклад ізоморфізму алгебр. Нехай G1=(R+, ´,-1,1), G2=(R, +,-1,0), де R+ – множина усіх додатних дійсних чисел, -1 – унарна операція на множині R+, така що хÎR+ Þ х-1=1/x, -1 – унарна операція на множині R, така що хÎR Þ х+(-х)=0, 1 – 0-арна операція на множині R+ (її результатом є число 1), 0 – 0-арна операція на множині R (її результатом є число 0). Алгебри G1 та G2 є алгебрами одного типу, адже існує бієкція (позначимо її f) сигнатури алгебри G1 у сигнатуру алгебри G2, а саме: f(´)=+, f(-1)= -1, f(1)=0, й при цьому ´ та f(´) – бінарні операції, -1 та f(-1) – унарні операції, 1 та f(1) – 0-арні операції. Розглянемо відображення lg: R+®R. Воно, як відомо, є взаємно однозначним. Покажемо, що lg – гомоморфне відображення алгебри G1 у алгебру G2. Для цього для кожної пари операцій, зв’язаних відображенням f, складемо рівність виду lg(fn(а1,…аn))=fn(lg(а1),…, lg(аn)) й перевіримо, чи виконується вона. Отже, для пари бінарних операцій ´ та + маємо: lg(а1´а2)=lg(а1)+lg(а2); ця рівність виконується (як відомо, логарифм добутку двох додатних дійсних чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел). Для пари унарних операцій -1 та -1 маємо: lg(х-1)=-lg(х); перевіримо: lg(х-1)=lg(1/x)=lg(1)-lg(x)=0-lg(x)=-lg(x); отже, рівність виконується. Для пари 0-арних операцій 1 та 0 маємо: lg(1)=0; перевіримо: lg(1)=lg(1)=0; отже, рівність виконується. Таким чином, lg – взаємно однозначне гомоморфне відображення алгебри G1 у алгебру G2, отже, lg – ізоморфізм алгебр G1 та G2.
Контрольні питання
1. Які алгебри називаються алгебрами одного типу?
2. Що таке гомоморфізм алгебр?
3. Які алгебри називаються гомоморфними?
4. Що таке ізоморфізм алгебр?
5. Які алгебри називаються ізоморфними?
6. Що таке гомоморфне відображення алгебри на алгебру?
