Теоретические сведения

Метод контурных токов напоминает метод расчета с использованием законов Кирхгофа, однако он несколько проще и поэтому получил большее распространение на практике при расчетах многоконтурных цепей, состоящих из n независимых контуров. Определение токов в ветвях сводится к решению системы n=m-(k-1) уравнений для контурных токов I_1k, I_2k, I_3k… действительный же ток в каждой ветви находится как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих через соответствующую ветвь. Выбор направлений контурных токов произволен, но желательно, чтобы они имели одинаковые направления (тогда можно воспользоваться канонической системой уравнений). Каждая из ветвей сложной электрической цепи должна войти хотя бы в один из анализируемых контуров.

Каноническая система уравнений для независимых контуров имеет вид:

+R₁₁ I_1k-R₁₂I_2k- R₁₃I_3k- R₁₄I_4k-…=E₁₁;

-R₂₁ I_1k+R₂₂I_2k- R₂₃I_3k- R₂₄I_4k-…=E₂₂;

-R₃₁ I_1k-R₂₂I_2k+ R₃₃I_3k- R₃₄I_4k-…=E₃₃; и т.д.

Здесь R_ii (R₁₁, R₂₂ …) - сумма всех сопротивлений, по которым протекает рассматриваемый контурный ток I_ik;

R_ij (R₁₂, R₂₁, R₁₃, R₃₁ …) - сумма сопротивлений, по которым одновременно протекают I_ik и I_jk контурные токи;

E_ii (E₁₁, E₂₂ …) – алгебраическая сумма ЭДС, имеющихся в рассматриваемом контуре.

Для иллюстрации рассматриваемого метода расчета обратимся к схеме на рис.3.1, на которой выбранные направления контурных токов обозначены стрелками, токи в ветвях контуров — расположением входных зажимов амперметров (утолщённая чёрная линия обозначает отрицательную клемму).

+R₁₁ I_1k-R₁₂I_2k- R₁₃I_3k=E₁₁;

-R₂₁ I_1k+R₂₂I_2k- R₂₃I_3k=E₂₂;

-R₃₁ I_1k-R₃₂I_2k+ R₃₃I_3k=E₃₃.

Здесь R₁₁= R₁+R₂; R₂₂= R₂+R₅+R₄; R₃₃= R₆+R₄;

R₁₂= R₂₁= R₂; R₁₃= R₃₁=0; R₂₃= R₃₂= R₄;

E₁₁= E₁-E₂-E₃; E₂₂= E₂-E₄; E₃₃=E₃+E₄.

После подстановки числовых значений получим:

20I_1k – 10I_2k = 60;

-10I_1k +22 I_2k -7I_3k=24;

-7I_2k + 22I_3k= 16.

Решив эту систему уравнений, найдем контурные токи:

I_1k =5А, I_2k =4А, I_3k = -2А.

Теперь найдем истинные токи во всех ветвях. В ветви, где действует ЭДС Е₁, истинный ток I₁ имеет направление контурного тока I_1k; и равен ему: I₁=I_1k = 5 А. В ветви с сопротивлением R₅ истинный ток I₅ имеет направление контурного тока I_1k и равен ему; I₅=I_1k =4A. В ветви с сопротивлением R₆ истинный ток I₆ имеют направление, противоположное контурному току I_3k, и равен I₆= -I_3k =2 A. В ветви с сопротивлением R₂ истинный ток I₂ получится наложением контурных токов I_1k и I_2k и будет иметь направление большего из них, т.е. I₂ = I_1k - I_2k =1 А. В ветви с сопротивлением R₄ истинный ток I₄ получится наложением контурных токов I_2k и I_3k и будет иметь направление большего из них, т.е. I₄ = I_2k – I_3k = 4+(-2)=2 А.

Рис. 3.1. Схема сложной трехконтурной цепи

В ветви, где действует ЭДС Е₃, истинный ток I₃ получится наложением контурных токов I_1k и I_3k, и будет иметь направление тока I_1k, т.е. I₃= I_1k – I_3k =5+(-2)=3 А. Из сравнения полученных расчетных данных с показаниями приборов на рис. 3.1 видно, что они полностью совпадают.