Приближенное вычисление определенных интегралов

Формула Ньютона-Лейбница позволяет нам вычислять определенные интегралы от таких функций, первообразные которых выражаются конечным числом элементарных функций. В тех же случаях, когда упомянутая первообразная не выражается через элементарные функции (или когда нахождение ее связано с чрезмерно громоздкими вычислениями), приходится искать иные способы вычисления определенного интеграла.

В исключительных случаях удается найти определенный интеграл каким-нибудь искусственным приемом.

Например, сделав в интеграле

подстановку x = π - z, приведем его к виду

откуда

Значит,

Рассмотрим определенный интеграл

(1).

Пусть подынтегральная функция f(x) разлагается в степенной ряд

сходящийся в интервале (-R; R), который содержит отрезок интегрирования Применяя теорему о почленном интегрировании степенных рядов можно представить интеграл (1) в виде числового ряда

= (2).

Если ряд (2) сходится достаточно быстро, то можно приближенно вычислить определенный интеграл с помощью частичной суммы ряда

(3).

Погрешность результата в таком случае складывается из следующих погрешностей:

1) из погрешности замены ряда частичной суммой, эта погрешность (погрешность усечения) равна остатку ряда;

2) из погрешностей округления при вычислении суммы (3).

Для знакочередующегося ряда с монотонно убывающими по абсолютной величине членами абсолютная величина остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого из отбрасываемых членов ряда. Для оценки остатка ряда в других случаях применяют мажорирование такими числовыми рядами, остатки которых легко оцениваются.