Поле бесконечной заряженной нити

Окружим нить цилиндром длиной l и площадью поперечного сечения S. Т.к. вектор напряженности электрического поля направлен через боковую поверхность, а через две торцевые поток отсутствует, то по теореме О-Г:

, S_{б. п.}= l 2pr, 2p Еlr = Þ .

Если ввести понятие линейной плотности зарядов t = q/l - заряд распределенной по всей длине, то напряженность поля нити можно определить так:

. (1.28)

Напряженность поля создаваемая телом любой формы может быть получена с помощью т. О-Г.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при малом перемещении точечного заряда в этом поле, равна убыли потенциальной энергии в рассматриваемом поле:

dА = q d = - dW_n.

Для системы из n точечных зарядов

.

После интегрирования получим:

,

где С - постоянная интегрирования.

Значение С зависит от выбора начала отсчета потенциальной энергии заряда q в электростатическом поле. Если система имеет бесконечную протяженность в пространстве, то полагают, потенциальная энергия равна нулю в точке, бесконечно удаленной от всех зарядов q_i системы, т.е. С=0:

.

Если заряды системы распределены в пространстве непрерывно, то для напряженности поля справедлива формула:

.

Тогда потенциальная энергия в случае при вышеуказанном выборе начала отсчета потенциальной энергии

. (1.29)

Из (1.29) следует, что потенциальная энергия не может служить характеристикой самого поля. Энергетической характеристикой поля служит его потенциал.

Потенциалом электростатического поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля, к этому заряду:

j = W_п /q . (1.30)

Тогда, учитывая (1.29):

или .

Таким образом,

, (1.31)

т.е. при наложении электростатических полей их потенциала складываются алгебраически.

Из формул (1.4) и (1.30):

, W_п = qj .

С другой стороны, существует связь:

.

Т.к. заряд q не зависит от координат точек поля, то

grad(qj)=q×gradj. (1.32)

Элементарная работа сил электростатического поля на малом перемещении пробного заряда q

,

где dl = | |, E_l - проекция вектора на направление перемещения .

С другой стороны,

δA = -dW_п= -qdj.

Поэтому

E_l dl = -dj или , (1.33)

т.е. проекция вектора напряженности электростатического поля на произвольное направление численно равна быстроте убывания потенциала поля на единицу длины в этом направлении.

.

Геометрическое место точек электростатического поля, в которых значения потенциала одинаковы, называется эквипотенциальной поверхностью. Если вектор направлен по касательной к эквипотенциальной поверхности, то (dj/dl) = 0 и E_l = 0, т.е. ^ . Следовательно, эквипотенциальные поверхности ортогональны линиям напряженности (рис. 1.7). Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю.