Теорема Остроградского-Гаусса

Потоком вектора напряженности электрического поля сквозь малый участок поверхности, проведенной в поле, называется величина

dN = E dS cos( )= . (1.17)

где - вектор напряженности электрического поля в точках малого участка поверхности площадью dS, - единичный вектор, нормальный к площадке dS, а вектор .

dN = E_ndS = EdS_^ . (1.18)

Поток напряженности N сквозь любую поверхность S равен алгебраической сумме потоков напряженности сквозь все малые участки этой поверхности:

. (1.19)

При этом все векторы нормалей к малым площадкам dS нужно направлять в одну и ту же сторону относительно поверхности S.

Рассмотрим электростатическое поле системы точечных зарядов q₁, q₂, ..., q_n. Согласно принципу суперпозиции полей:

, (1.20)

т.е. искомый поток N равен алгебраической сумме потоков через ту же замкнутую поверхность S напряженности полей каждого из зарядов системы. Поток напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной e₀.

. (1.21)

Рассмотрим несколько примеров использования теоремы Остроградского-Гаусса.