Уравнения Максвелла (в интегральной форме)

«Самое главное в теории электромагнетизма Максвелла – это уравнения Максвелла» - Г. Герц

Вот теперь у нас всё готово, чтобы выписать так называемую систему уравнений Максвелла. Справа от соответствующего равенства будем кратко комментировать физическое содержание этих зачастую не очень простых математических соотношений. Итак:

(I) (Теорема Гаусса – закон Кулона + принцип суперпозиции);

(II) (Теорема Гаусса для магнитного поля – магнитных зарядов в природе нет!);

(III) (Закон электромагнитной индукции в трактовке Максвелла);

(IV) . (Теорема о циркуляции «подправленная» Максвеллом)

Вместе с законом силы, действующей на заряженную частицу в электромагнитном поле (мы называли её обобщённгой силой Лорентца)

эта система является основой классической электродинамики, фундамент теории электромагнитного поля Максвелла.

Если же вспомнить 3 закона механики Ньютона и добавить к ним закон Всемирного тяготения, то мы получим всё принципиальное знание, добытое человечеством к концу XIX столетия и наываемое «Классическая физика»!

*) аналогично мы поступали и при формулировании закона Всемирного тяготения.

*) Если поле создаётся протяженными заряженными телами, их можно разбить на малые элементы, которые также можно будет считать точечными зарядами.

*) Для решения задач подобного рода применительно к гравитации Ньютону, как мы помним, пришлось разрабатывать новый математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

*) Математики формулируют более общую теорему «Остроградского-Гаусса» для векторных полей определённого сорта. Заметим, что Остроградский – один из учителей Д.И. Менделеева.

*) Чтобы не «утяжелять» обозначения мы опускаем нижний индекс «Е» в обозначении потока вектора напряжённости.

**) положение каждого малого элемента задано радиус–вектором .

*) Как обычно, такие тела можно разбить на малые элементы, которые можно считать точечными зарядами.

*) Дополнительный символ «*» в обозначениях S* и W* нам понадобился, чтобы подчеркнуть – интегрирование ведётся не по «замкнутой поверхности» S и «ограниченной ею области пространства» W, которые фигурируют в «тексте» теоремы, а по заряженным телам, оказавшимся внутри этой поверхности (и в этой области пространства).

*) Мы уже отмечали, что Ньютон решал такую задачу применительно к гравитационному полю.

*) Мы сознательно опускаем индексы «1» и «2» в обозначении поверхностей S₁ и S₂, чтобы не загромождать запись.

*) Здесь мы учитываем, что поле в однородном изотропном диэлектрике в e раз меньше, чем поле в вакууме.

*) Здесь мы также учли ослабление поля в диэлектрике в e раз по сравнению с полем в вакууме.

**) Применение теоремы Гаусса для случая «плоской» симметрии мы ещё затронем на примере вычисления поля внутри плоского конденсатора.

*) В дальнейшем мы для краткости нередко будем прибегать к такому «жаргону» вместо того, чтобы каждый раз подробно писать: «силы, действующие в электростатическом поле».

**) Опять-таки для большей компактности мы часто будем вместо обозначения использовать просто А₁₂ .

*) Вспомните процедуру расчёта потенциальной энергии для произвольной консервативной силы в механике.

**) Только при решении модельных задач о заряде, распределённом по бесконечной области пространства (гипотетический случай) с плоской или осевой симметрией, подобная нормировка недопустима.

*) Как обычно, в процессе подобной процедуры интегрирования мы будем использовать одинаковое обозначение «r» для исходного расстояния точки от заряда и для переменной интегрирования, несколько погрешив при этом против «строгих» правил обозначений, принятых в математике.

*) Определяя «приращение» всегда из конечного значения вычитают начальное.

*) Термин «градиент» как и его обозначение, впервые в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Кое-где вы можете встретить для градиента и иное обозначение – «оператор набла»: Ñj. Не пугайтесь – это то же самое!

*) Здесь было использовано определение электроёмкости конденсатора С = q/Dj.

*) Иногда говорят для краткости, что это «энергия, приходящаяся на единицу объёма пространства, где есть электрическое поле.

*) Отметим, что данные равенства остаются справедливыми и в случае переменного во времени электрического поля, например, электромагнитной волны (в частности, света).

*) Собственное поле одиночного электрического диполя мы подробно обсудим на семинарских занятиях.

*) Обозначению здесь далее соответствует напряжённость т.н. локального электрического поля в месте расположения данной молекулы (). Чуть позже мы ещё уточним это понятие.

*) Другое название этой характеристики (вектора ) – «поляризованность» диэлектрика.

*) Для большей выразительности рисунка мы предлагаем считать сопротивления R₁и R₂ распределёнными равномерно вдоль однородных участков между точками 1, 2 и соответствующими полюсами источника тока.

*) Μαγνῆτις λίθος (Magnētis líthos) – «камень из Магнесии».

**) Уильям Гильберт (William Gilbert, 1544 - 1603) – придворный врач английской королевы Елизаветы I. Первым ввел термин «электрический» (от лат. ēlectricus – «янтарный»).

*) В современном определении эталона единицы силы постоянного тока 1 А в системе единиц СИ используется как раз такой случай взаимодействия проводников с токами при нормированном значении силы этого взаимодействия

*) Точно так же будет направлен и «северный» конец стрелки компаса, помещённой в данную точку пространства.

*) Далее в обозначении скорости направленного движения зарядов будем опускать индекс «др».

*) Если соленоид заполнен однородным изотропным веществом, то индукция возрастает в m раз, где m – магнитная проницаемость этого вещества.

*) Эта теорема в иностранной литературе часто называется также теоремой Ампера или законом Ампера о циркуляции («Ampère’s circuital law»), поскольку впервые была доказана Ампером в 1826 г.

*) Если соленоид заполнен однородным изотропным веществом, то индукция возрастает в m раз, где m – магнитная проницаемость этого вещества.

*) Происхождение термина обусловлено аналогией с наведением электрического заряда – «электростатической индукцией»

*) Электромагнитной индукцией объясняют также разделение зарядов (возникновение ЭДС) в проводниках, движущихся в магнитном поле или находящихся в переменных магнитных полях, а также появление «вихревого» электрического поля при изменении магнитного (по Максвеллу).

*) Российский учёный, ректор Санкт-Петербургского Университета. Участник первого восхождения на Эльбрус.

*^*) Коэффициент пропорциональности в законе зависит от выбора системы единиц.

*) При отсутствии вблизи контура ферромагнетиков.

*) Разговор о нём у нас ещё впереди, а пока придётся довольствоваться «школьными» представлениями на этот счёт.

*) Мы использовали здесь закон ЭМИ (17.1) и определение силы тока I = dq/dt.

**) Использованы результаты решений задач 10.5 и 13.1 для магнитной индукции поля соленоида и его индуктивности.

*) Мы предподагаем здесь постоянство m, в общем случае эту величину также надо внести под знак интеграла.

*) Заметим, что закон ЭМИ Фарадея лишь констатирует при каких обстоятельствах появляется индукционный ток.