Явление самоиндукции. Индуктивность

Электромагнитная индукция проявляет себя во многих формах, в частности, при изменении тока в любом контуре возникают дополнительные ЭДС – «ЭДС самоиндукции» (e_si) и дополнительные токи I_si– так называемые «экстратоки». Для «классической» демонстрации самоиндукции используется схема, показанная на рисунке 10.1. Сначала при замкнутом ключе «К» постоянный ток от источника протекает по лампочке «Л» и она горит «вполнакала». В момент резкого размыкания ключа «К» цепь питания лампочки от источника прерывается, однако лампочка ярко вспыхивает благодаря «экстратоку самоиндукции». При этом ЭДС самоиндукции e_si, возникающая благодаря убывающему «основному» току через катушку, соединённую параллельно лампочке, оказывается даже больше ЭДС источника постоянного тока e. Напротив, при замыкании ключа возникают экстратоки направленные навстречу осноному току, поэтому нарастание тока в контуре замедляется – лампочка вспыхивает с запаздыванием, но этот эффект удобнее продемонстрировать на другой схеме, о которой мы скажем чуть ниже.

Пока же разберёмся в явлении поподробнее. Нам понятно, что экстратоки появляются в строгом соответствии с законом ЭМИ Фарадея: в цепи изменяется ток, изменение потока магнитного поля этого тока через поверхность ограниченную контуром (говорят: «сцепленного с контуром») ведёт к появлению ЭДС, на этот раз ЭДС САМОиндукции:

. (10.1)

Индекс «s» здесь свидетельствует, что это «собственный» (от английского self) магнитный поток. А что можно сказать об этом потоке?

Мы знаем, что по определению магнитного потока элементарный поток через каждый малый элемент поверхности пропорционален магнитной индукции в месте расположения этого элемента: dФ_s~ B(x,y,z). В то же время модуль вектора магнитной индукции по закону Био-Саварра-Лапласа пропорционален силе тока в контуре, т.е. B(x,y,z) ~ I*). Полный поток вектора магнитной индукции через всю поверхность ограниченную контуром сладывается из элементарных потоков ( ) и, следовательно, также оказывается прямопропорционален силе тока в контуре, т.е. Ф_s ~ I. Иначе говоря, можно записать:

Ф_s = LI. (10.2)

введя обозначение L для коэффициента пропорциональности. Таким образом

(Опр.) «Индуктивностью» контура L (или «коэффициентом самоиндукции») называется отношение собственного магнитного потока контура с током к силе тока в этом контуре:

. (10.3)

Пример

Найдём индуктивность соленоида. Ранее мы выяснили, что магнитное поле соленоида практически однородно внутри него, и его индукция равна B =m₀nI. Приведём далее без подробных комментариев цепочку простых преобразований, позволяющих связать «собственный» магнитный поток контура с силой тока в нём. Магнитный поток через все N витков соленоида равен:

Ф_s= N×m₀nI = nl×m₀nI×S = {с учётом V = Sl }= m₀n²V×I.

Теперь остаётся лишь выписать икомый коэффициент пропорциональности – индуктивность соленоида:

L = m₀n²V. (10.4)

От чего же зависит индуктивность? На примере соленоида мы видим – прежде всего от «геометрических» факторов: размеров (1) и формы (2) контура. Однако есть и ещё один важный фактор! В этом нетрудно убедиться практически. Если вставить в соленоид, например, железный сердечник все магнитные эффекты заметно увеличаться – возрастут наблюдаемые экстратоки в цепях с такой катушкой. Отсюда следует, что индуктивность зависит также и от магнитных свойств (3) окружающей контур среды. Введём пока что сугубо формально понятие магнитной проницаемости среды следующим образом:

. (10.5)

В этом определении L₀и L – индуктивности контура в вакууме и в среде соответственно. Позже мы разберёмся с этим понятием поподробнее. А сейчас, с учётом сказанного, приведём более общий результат для индуктивности соленоида:

L = mm₀n²V. (10.6)

А как мы можем записать теперь ЭДС самоиндукции? Вот как:

. (10.7)

По поводу последнего равенства надо сделать два замечания:

1. Надо иметь в виду, что речь идёт о контуре с неизменной индуктивностью – т.е. он не деформируется и не меняются магнитные свойства среды – например, в катушку не вставляют феромагнитный сердечник.

2. Иногда, опираясь как раз на равенство (10.7), дают определение понятия индуктивности контура: . Однако, с учётом замечания 1 лучше так не делать.

В заключение этого пункта упомянем ещё ободном термине. Если два контура с током 1 и 2 находятся близко друг к другу, то говорят о их взаимоиндукции. Ведь магнитное поле контура 1 создает поток через поверхность, ограниченную контуром 2, который прямо пропорционален силе тока в контуре 1, и наоборот:

Ф₂₁ = L₂₁I₁, Ф₁₂ = L₁₂I₂. (13.3)

Коэффициенты пропорциональности L₁₂и L₂₁ называются коэффициентами взаимной индукции контуров или их взаимными индуктивностями. Они зависят от размеров, формы контуров, их взаимного расположения, а также от магнитных свойств окружающей среды. Можно показать, что в отсутствии ферромагнетиков L₁₂ = L₂₁ («теорема взаимности»).