Закон Био-Савара-Лапласа

Французы Био и Саварр провели в 1820 году серию кропотливых и разнообразных экспериментов по определению индукции магнитного поля проводников с током различной формы и конфигурации. Выявить закономерность, проанализировав весь этот богатый массив эмпирической информации, удалось Лапласу. Он пришёл к выводу, что определить магнитное поле, созданное проводником с током произвольной формы,

Лапла́с Пьер-Симо́н(1749–1827) – французский математик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Именно Лаплас ввёл этот термин «Небесная механика».

можно суммируя индукцию магнитного поля от каждого отдельного «элемента тока» в произвольной точке пространства А, задаваемой радиус-вектором (см. рис. 7.1):

. (7.4)

Это утверждение получило название закона Био–Саварра–Лапласа (БСЛ). В коэффициент пропорциональности системы СИ здесь входит магнитная постоянная m₀, равная 4p×10^-7 Гн/м (или Н/А²). Направление вектора перпендикулярно как элементу тока (вектору ), так и вектору (на рис. 7.1 – «от нас»). Полезно написать также и чему равен модуль магнитной индукции от элемента тока

. (7.5)

Как мы уже отмечали, для нахождения результирующего магнитного поля созданного всем проводником следует, пользуясь принципом суперпозиции полей, найти сумму векторов от всех элементов тока, на которые предварительно разбивается проводник. Таким образом, принципиально может быть решён вопрос для проводников произвольной формы. Покажем, как реализуется этот подход практически для случая проводников несложной формы.

Пример 1. Найти индукцию магнитного поля прямолинейного длинного проводника с током.

Разобьём проводник на малые элементы и определим индукцию магнитного поля в точке А для каждого из них в соответствии с законом Био–Саварра–Лапласа (7.4). Направление векторов определим по «правилу буравчика» (правого винта). Прежде чем переходить к процедуре суммирования векторов отметим, что все они направлены одинаково – перпендикулярно плоскости, в которой располагается проводник и точка А (на рисунке показано символом Ä – перпендикулярно его плоскости «от нас»). Поэтому результирующий вектор направлен так же, и суммировать можно скалярные величины – модули dB. Чтобы выполнить это суммирование (операция интегрирования), выразим входящие в соотношение (7.5) величины r и dl через одну единственную переменную величину – q и её дифференциал dq :

.

Подставим теперь всё это в (7.5), выполним очевидные сокращения величин и получим:

.

Остается выполнить интегрирование в пределах изменения угла q для случая очень («бесконечно») длинного проводника, т. е. от 0 до p :

.

Мы получили значение модуля магнитной индукции прямолинейного проводника с током. Как видим, эта величина убывает обратно пропорционально расстоянию от него. О направлении вектора мы уже говорили. Но ! Хотелось бы представить себе структуру магнитного поля более наглядно.