Разветвлённые цепи. Правила Кирхгофа

С помощью закона Ома рассчитывают силы токов по заданным величинам ЭДС и сопротивлений только в простейших случаях, когда цепь можно свести к одному контуру. Для разветвлённых цепей весьма удобно использовать так называемые правила Кирхгофа. Из закона сохранения заряда для стационарных токов следует первое правило Кирхгофа (правило узлов):

· алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (6.7)

Узлом называется точка, в которой соединяются 3 или более проводников. Направления сил токов в отдельных неразветвлённых участках, разделённых узлами, выбирают произвольно. При этом условно считают силы токов, «входящих» в узел, положительными величинами, а «выходящих» из узла – отрицательными. Первое правило (6.7) запишем, например, для узла а в схеме, приведённой на рис. 6.5:

.

Из закона Ома для неоднородных участков цепи следует второе правило Кирхгофа (правило контуров):

· алгебраическая сумма произведений сил токов на полные сопротивления в неразветвлённых участках контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре,.

. (6.8)

Для практического применения второго правила Кирхгофа сначала в разветвлённой цепи выбирается тот или иной контур. Затем «направление обхода» этого контура (по часовой стрелке или против неё). Знаки произведений сил токов на полные сопротивления I_i(R_i + r_i) и ЭДС источников e_i в равенстве вида (6.8), считаются положительными, если направление токов и ЭДС совпадает с направлением обхода контура. Докажем справедливость второго правила Кирхгофа на примере.

ü Пример

Для каждого из неоднородных участков цепи схемы рис. 6.6, разделённых узлами (a, b, c, d), запишем Закон Ома:

I₁×(R₁ + r₁) = j_a - j_b + ε₁ ;

I₂×(R₂ + r₂) = j_b - j_c - ε₂;

- I₃×(R₃ + r₃) = j_c - j_d - ε₃;

- I₄ ×R₄ = j_d - j_a .

Сложим теперь левые и правые части написанных равенств. В итоге получим:

I₁(R₁ + r₁) + I₂(R₂ + r₂) - I₃(R₃ + r₃) - I₄R₄ = ε₁ - ε₂ - ε₃.

Убедитесь, что это в точности соответствует второму правилу Кирхгофа для контура abcd при обходе его по часовой стрелке.

Из системы уравнений составленных по правилам Кирхгофа для остальных контуров и узлов схемы аналогично приведённым можно найти значения сил токов, текущих по всем участкам анализируемой цепи. Если при заданных величинах , R_i и r_i, то или иное значение силы тока окажется отрицательным, то это будет означать, лишь, что истинное направление силы противоположно произвольно выбранному.