Потенциал системы точечных зарядов

Нетрудно показать, что для потенциала поля системы неподвижных точечных зарядов q_i справедлив принцип суперпозиции: он равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в данной точке каждым зарядом в отдельности:

(3.9)

Доказательство этого утверждения основано на двух известных нам обстоятельствах: 1) потенциал равен удельной работе по перемещению пробного заряда из данной точки поля в точку нормировки; 2) работа силы есть величина аддитивная, т.е. работа нескольких сил, действующих на тело всегда равна алгебраической сумме работ каждой из сил в отдельности (мы отмечали этот факт ещё в разделе «Механика»).

Для поля системы точечных зарядов, соответственно, можно написать:

j(x,y,z) = , (3.10)

где r_i – расстояние от i-го заряда до точки поля с координатами {x,y,z}. Приведём простой пример расчёта потенциала поля, создаваемого протяжённым заряженным телом, основанного на применении принципа суперпозиции для потенциалов.

Пример. Определить потенциал электрического поля j(x) на оси равномерно заряженного кольца радиуса R. Заряд кольца q, x – расстояние от центра кольца.

Повторяя частично наши действия при расчёте напряжённости для этого случая (см. п. 3.5) обнаруживаем существенные упрощения ситуации. Потенциал – величина скалярная и после разбиения кольца на малые элементы – точечные заряды Dq_i, остаётся лишь в соответствии с принципом суперпозиции просуммировать совершенно одинаковые величины – потенциалы поля, которое создаёт в интересующей нас точке каждый из этих зарядов (см. рис. 3.2):

.

Оставшаяся сумма даёт, конечно, полный заряд кольца q. Поэтому запишем результат окончательно:

(3.11)

Обратим внимание, что этот результат получен с математической точки зрения чрезвычайно просто именно в силу скалярного характера потенциала. Решите самостоятельно вопрос о потенциале в центре, скажем, равномерно заряженной полусферы. Вы убедитесь, что ответ может быть получен, что называется, «в уме». В то время как поиск напряжённости – математически весьма непростая задача.