Применение принципа суперпозиции для нахождения напряжённости поля системы зарядов и протяжённых заряженных тел

Мы уже отмечали, что введённая нами величина – напряжённость электрического поля будет плодотворной, если мы научимся рассчитывать её по заданному распределению заряженных частиц и тел в пространстве. Первым способом такого расчёта является использование знания выражения для напряжённости поля точечного заряда и принципа суперпозиции электрических полей. По сути, его мы и используем (пусть и качественно) при «теоретическом» построении картины силовых линий, описанном в предыдущем пункте. Такой способ принципиально применим всегда. Другое дело, что получить точный результат аналитически, без применения численных методов и ЭВМ, удаётся только в очень ограниченном ряде случаев распределения зарядов-источников в пространстве. Приведём только простейший пример такого расчёта. Ведь наша задача сейчас продемонстрировать «стратегию» действий, а не углубляться в математические «упражнения». Примеры рассмотрения более сложных ситуаций вы найдёте в нашем учебном пособии для семинарских занятий.

Пример. Определить напряжённость электрического поля на оси равномерно заряженного кольца радиуса R. Заряд кольца q, x – расстояние от центра кольца.

Прежде всего разобьём кольцо на элементы – точечные заряды Dq_i, каждый из которых создаёт в точке А поле с напряжённостью

Обратим внимание, что расстояние от элемента кольца до точки А одинаково для всех таких элементов. Все векторы располагаются под одинаковым углом a к оси ОХ на конической поверхности (см. рис. 1.3).

Dq_i

Далее воспользуемся принципом суперпозиции, т.е. сложим все такие векторы. Вследствие симметрии задачи вклад в общую напряжённость дадут лишь составляющие напряжённости º Е_ix. Поэтому модуль вектора напряжённости в точке А будет определятся только суммой этих составляющих Е_ix по всем элементам кольца:

Сам же вектор , очевидно, будет направлен вдоль оси ОХ. Окончательно полученный результат можно записать в такой форме:

. (1.6)

Зависимость проекции на ось ОХ вектора напряжённости E_x представлена на графике – рис. 1.4. Видно, что на малых расстояниях от центра кольца эта зависимость линейная, на больших – обратно пропорциональна квадрату расстояния (кольцо “становится” точечным зарядом).

v Сделаем несколько замечаний

1.В рассмотренном примере мы обошлись даже без высшей математики – процедуры интегрирования. В более сложных случаях «одномерного» распределения заряда приходится рассчитывать т. н. «криволинейные» интегралы вдоль линейного объекта «L» (стержни, нити, проволоки, ...), и использовать понятие «линейной плотности заряда»:

. (1.7)

. (1.8)

Написать это не сложно, а вот «взять» такой интеграл, увы, удаётся далеко не всегда. Обратите внимание, что и векторы для каждого элемента разные! С некоторыми характерными случаями, когда удаётся свести такую непростую «математическую конструкцию» к «обычному» определённому интегралу вы познакомитесь на семинарских занятиях и в практикуме.

2.Если заряд распределён по некоторой поверхности или по объёму, используют соответственно поверхностные и объёмные интегралы, а также понятия поверхностной и объёмной плотности заряда:

, (1.9)

и . (1.10)

3.Здесь символы «L», «S» и «W» используются для обозначения линии, поверхности и объёмной области пространства (геометрические объекты!), по которым распределён заряд соответственно. Мы и в дальнейшем будем придерживаться этих обозначений. Обозначения l, S и V мы сохраняем за длиной, площадью и объёмом (числа!) соответствующих объектов.