Принцип суперпозиции. Электрическое поле. Напряжённость электрического поля

Как и в случае закона Всемирного тяготения, необходимо обратить особое внимание, что формулировка закона электростатического взаимодействия даётся для «точечных» тел. А как же быть, если хотя бы одно из заряженных тел не является таковым? Или на точечный заряд действуют одновременно несколько других точечных? Опыт показывает, что в вакууме и однородной и изотропной диэлектрической среде для сил электростатического взаимодействия справедлив принцип суперпозиции. Его суть состоит в следующем. Каждое электрическое воздействие на точечный заряд q со стороны отдельного точечного заряда из группы таких зарядов q₁, q₂, …, q_i, …, q_n º {q_i} описывается силой – векторной величиной, которую можно найти по закону Кулона. Результат же электрического воздействия со стороны всей группы n зарядов описывается результирующей силой, равной векторной сумме всех сил :

. (1.2)

Это важное свойство электростатических сил, состоящее в том, что сила взаимодействия двух зарядов не меняется при наличии 3-го, 4-го и т.д. Отталкиваясь от него, будем опираться (вслед за Фарадеем и Максвеллом!) на концепцию электрического поля, как посредника в электрическом взаимодействии тел. Введём важнейшую характеристику этого поля – напряжённость электрического поля.

Запишем сумму сил, действующих на точечный заряд (назовём его «пробным») q_пр º q₀, помещенный в данную точку пространства (позже мы будем называть её точкой силового поля) со стороны любой системы других точечных зарядов*):

Здесь – радиус векторы, проведённые от i–го заряда системы в точку, где расположен пробный заряд q₀. Видно, что все слагаемые имеют множитель q₀. Поэтому применим приём, кажущийся на первый взгляд тривиальным – выделим этот множитель, а вот для того, что останется, введём обозначение . Результирующая сила также пропорциональна величине пробного заряда q₀, а потому можно записать теперь:

Важно, что ни E_i ни E уже не зависят от величины пробного заряда (а также и от его наличия!), т.е. они характеризуют само поле сил. Дадим теперь определение напряжённости электрического поля.

(Опр.) Напряжённостью электрического поля называется отношение силы, действующей на пробный (точечный) заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого пробного заряда q_пр:

. (1.3)

Здесь – радиус-вектор, характеризующий положение точки поля в выбранной системе отсчёта.

Функция характеризует каждую точку пространства. Если задана такая функция , говорят, что «задано поле» (векторное силовое!). По сути, векторная функция – это и есть электрическое поле! В чём удобство от введения такой характеристики? Если каким-то образом мы научимся находить (экспериментально или теоретически – по заданному распределению заряженных тел в пространстве) напряжённость в произвольной точке поля как функцию её координат ( ), то мы сможем найти силу, действующую со стороны поля на любой точечный заряд q, оказавшийся в данной точке поля:

. (1.4)

Равенство (1.4) отражает принцип суперпозиции для напряжённости электрического поля (или просто «для электрического поля).

По сути, мы уже знаем выражение для напряжённости электрического поля, создаваемого в окружающем пространстве одиночным точечным зарядом:

, (1.5)

где – радиус-вектор, проведенный от точечного заряда – источника поля q в данную точку пространства. Его легко получить, используя закон Кулона и определение напряжённости. Для нахождения напряжённости электрического поля, созданного протяженными заряженными телами, необходимо разбить их на малые элементы (точечные заряды), а затем использовать принцип суперпозиции электрических полей. Например, подобная процедура расчета напряжённости поля приводит к важному результату, который в школьном курсе приводится без обоснования. Напряжённость электрического поля, созданного заряженной проводящей сферой (или шаром) в области пространства за пределами этой сферы описывается таким же выражением, как и в случае точечного заряда – (1.5). Радиус-вектор при этом имеет своим началом центр сферы. Внутри сферы напряжённость поля равна нулю, поле отсутствует. Процедура доказательства этих утверждений, несмотря на простую симметрию распределения заряда в пространстве, с математической точки зрения, весьма кропотлива*). Поэтому несколько позже мы увидим, как можно обосновать их гораздо проще, используя мощную «интегральную» теорему-следствие из закона Кулона и принципа суперпозиции – теорему Гаусса.

v В заключение этого пункта сделаем замечания о понятии «пробный заряд», которым мы воспользовались при определении напряжённости электрического поля

1. «Пробный заряд» должен быть точечным, т. е. геометрические размеры заряженного тела должны быть малы. Но возникает вопрос – по сравнению с чем (положения и размеры заряженных тел-источников поля могут быть и неизвестны!)? Увы, этот вопрос можно решить только экспериментально – по мере уменьшения размеров пробного заряда результат определения напряжённости должен перестать зависеть от этих размеров.

2. «Пробный заряд» должен обладать зарядом q₀малым по величине. Что является критерием этой «малости»? Появление пробного заряда в области измерения напряжённости электрического поля не должно приводить к перераспределению зарядов-источников поля в пространстве (т. е. попросту к их смещению). Вопрос опять-таки зачастую может быть решён лишь экспериментально.