Краткие сведения из теории

Если зарядить конденсатор от батареи до напряжения (рис. 20.1), а затем повернуть переключатель К, то конденсатор начнет разряжаться через катушку и в контуре возникнут электромагнитные колебания.

Рассмотрим, как происходят эти колебания в контуре, сопротивление которого R = 0. При замыкании контура в нем появляется ток I, создающий магнитное поле. Изменение магнитного поля тока приводит к возникновению в цепи электродвижущей силы самоиндукции E_i, замедляющей быстроту разряда. При уменьшении тока возникает электродвижущая сила, направленная в ту же сторону, что и вызвавший ее появление ток. Это приводит к тому, что после разряда конденсатора ток не прекращается сразу, а в течение некоторого времени продолжает течь в том же направлении и перезаряжает обкладки конденсатора. Затем процесс разряда начинается снова, но протекает теперь в обратном направлении. В результате вторичного перезаряжения конденсатора система возвращается в исходное состояние, после чего повторяются те же процессы. Время от начала процесса до конца вторичного перезаряжения называется периодом собственных колебаний.

В начальный момент, когда конденсатор полностью заряжен, в нем накоплена электрическая энергия: Во время разряжения конденсатора электрическая энергия превращается в энергию магнитного поля катушки и, когда конденсатор полностью разряжен, вся электрическая энергия переходит в магнитную: где I₀ – наибольшая величина тока, в контуре.

При перезаряжении конденсатора энергия магнитного поля снова превращается в энергию электрического поля. В контуре возникают незатухающие электромагнитные колебания.

Проводники контура всегда обладают электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе колебаний расходуется на нагрев проводников. Вследствие этого амплитуда электромагнитных колебаний в контуре постепенно уменьшается и в нем происходят затухающие колебания (рис. 20.2). При достаточно большом сопротивлении контура или малой индуктивности колебания в нем вообще не возникают, а происходит так называемый апериодический разряд конденсатора (рис. 20.3).

Рис. 20.2 Рис. 20.3

По второму закону Кирхгофа

(20.1)

(20.2)

где

(20.3)

Так как , то из (20.2) и (20.3) получаем

Подставим последние выражения в (20.1):

(20.4)

Как известно, дифференциальное уравнение (20.4) описывает затухающие колебания. Его решение:

(20.5)

где – коэффициент затухания,

(20.6)

– циклическая частота затухавших колебаний:

(20.7)

при этом

и (20.7а)

Если (20.1) записать в виде и продифференцировать по времени, то получим уравнение того же типа, что и (20.4):

из чего следует, что ток в контуре также совершает затухающие колебания, для которых значения , и Т определяются по формулам (20.6), (20.7) и (20.7а).

Из (20.7) и (20.7а) следует, что в контуре возможны затухающие колебания лишь в том случае, если , т.е. (частота и период – действительные величины) или . Если , то частота и период мнимые, колебаний нет и происходит апериодический разряд конденсатора (см. рис. 20.З).

Сопротивление, при котором частота обращается в нуль, называется критическим:

(20.8)

В этом случае конденсатор также разряжается апериодически.

Для характеристики степени затухания колебаний, кроме коэффициента затухания , используется еще логарифмический декремент затухания.

Логарифмическим декрементом затухания колебаний называется натуральный логарифм отношения двух значений напряжения, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

(20.9)

или

(20.9а)

Подставив в (20.9) значения и получим

(20.10)

или, согласно (10.6),

(20.10а)

В ряде случаев удобно изучать колебательный процесс в системе координат I и U, т.е. откладывать по оси абсцисс величину силы тока в контуре в заданный момент времени, а по оси ординат – напряжение на конденсаторе в тот же момент времени. Плоскость носит название плоскости состояний или фазовой плоскости, а кривая, изображающая зависимость напряжения от силы тока, называется фазовой кривой (рис. 20.4).

Найдем фазовую кривую для контура, сопротивление которого В этом случае и из (20.5), (20.7) и (20.7а) следует:

и (20.11)

(20.12)

Уравнения (20.12) описывают незатухающие колебания. Исключив из них время , получим уравнение фазовой кривой:

Это уравнение эллипса. Эллипс получается в результате сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний (20.12), сдвинутых по фазе на четверть периода. В контуре, сопротивление которого R > 0, происходят затухающие колебания напряжения (20.5) и тока:

(20.13)

В этом случае амплитуды напряжения и тока в контуре непрерывно убывают, не повторяясь через период времени, и фазовая кривая получается незамкнутой (см. рис. 20.4).