Краткие сведения из теории

Рассмотрим процесс заряда конденсатора в электрической цепи,
содержащей последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление R и – источник ЭДС (рис. 19.1).

Первоначально конденсатор не заряжен. Пусть J, q, U – мгновенные значения силы тока, заряда и разности потенциалов между обкладками конденсатора. Полагаем, что токи и напряжения удовлетворяют условиям квазистационарности, т.е. мгновенное значение силы тока во всех сечениях провода и элементах цепи одно и то же, а соотношение между мгновенными значениями J, q, и U такое же, как и в цепях постоянного тока. В момент времени t = 0 ключ К замкнули и в цепи пошел ток, заряжающий конденсатор , где q – заряд конденсатора. Применим закон Ома к цепи:

JR=ε – U, (19.1)

где R – полное сопротивление цепи, включающее внутреннее сопротивление источника ЭДС. Учитывая, что разность потенциалов на пластинах конденсатора , запишем предыдущее уравнение в виде

. (19.2)

Разделим переменные и проинтегрируем это уравнение с учетом начального условия при t = 0, q = 0:

откуда

(19.3)

где – предельное значение заряда на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе изменяется по закону

закон изменения силы тока в цепи получим дифференцированием

(19.4)

где . Графики зависимостей q(t) и J(t) представлены на рис. 19.2.

Рассмотрим процесс разряда конденсатора емкостью С, пластины которого замкнуты сопротивлением R. Пусть dq – уменьшение заряда конденсатора за время dt. При разряде конденсатора в цепи (рис. 19.3) протекает ток .

(19.5)

Уравнение (19.5) показывает, что скорость уменьшения заряда конденсатора пропорциональна величине этого заряда. Интегрируя уравнение (19.5) при условии, что в момент времени , , получим

(19.6)

откуда

(19.7)

Функция q(t) называется экспоненциальной. График зависимости q(t) приведен на рис. 19.4. Закон изменения напряжения на конденсаторе в процессе разряда аналогичен (19.7):

(19.8)

где

Произведение RC имеет размерность времени и называется постоянной времени или временем релаксации . За время заряд конденсатора уменьшается в е раз. Для определения RC часто удобно измерять время, за которое величина заряда падает до половины первоначального значения, так называемое «половинное время» . «Половинное время» определяется из выражения

(19.9)

Взяв натуральный логарифм от обеих частей уравнения (19.9), получаем или

. (19.10)

Способ измерения постоянной времени состоит в определении t_1/2 и умножении полученной величины на 1,44. Так как экспонента асимптотически приближается к оси абсцисс, то точно установить окончание процесса разряда конденсатора (так же как и процесса заряда) не представляется возможным. Поэтому целесообразно измерять время уменьшения величины заряда в два раза, т.е. «половинное время». За каждый интервал времени заряд на емкости уменьшается в два раза (рис. 19.5).

Если обкладки конденсатора попеременно подключать к
источнику тока и к сопротивлению R (рис. 19.6), то график процесса заряд-разряд конденсатора будет иметь вид, показанный
на рис. 19.7. Процесс заряда-разряда можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая на вход Y напряжение с конденсатора С.

Рис. 19.5

Рис. 19.6