Краткие сведения из теории

В пространстве, окружающем проводники с током или движущиеся заряды, возникает магнитное поле, которое можно обнаружить по воздействию его на другой проводник с током или на магнитную стрелку. Магнитное поле в каждой точке пространства количественно может быть описано с помощью вектора напряженности или вектора индукции магнитного поля. В вакууме векторы и связаны соотношением

(16.1)

где – магнитная постоянная.

Для вычисления напряженности и индукции магнитного поля используют закон Био – Савара – Лапласа, согласно которому элементарная напряженность магнитного поля , создаваемая элементом проводника с силой тока в некоторой точке пространства на расстоянии , определяется выражением

(16.2)

Для нахождения результирующей напряженности, создаваемой проводником конечных размеров, надо воспользоваться принципом суперпозиции магнитных полей и найти векторную сумму элементарных напряженностей :

(16.3)

В пределе сумма записывается в виде интеграла по контуру проводника с током. Применим формулу (16.3) для вычисления напряженности магнитного поля на оси соленоида. Каждый виток соленоида – это круговой ток, поэтому первоначально вычислим напряженность поля на оси кругового витка с током (рис. 16.1). При сложении составляющих магнитного поля перпендикулярных оси ОА, они компенсируют друг друга вследствие симметрии контура. Поэтому результирующая напряженность магнитного поля в точке А направлена вдоль оси кругового тока и равна по модулю:

; (16.4)

. (16.5)

В (16.5) учтено, что векторы и взаимно перпендикулярны. Подставив (16.5) в (16.4) и учитывая, что величины J, и постоянны, получим

(16.6)

Перейдем теперь к вычислению поля соленоида, изображенного на рис. 16.2. Пусть на единицу длины соленоида приходится п витков, тогда на участке dz будет ndz витков, которые в точке 0 соленоида согласно (16.6) создадут напряженность

(16.7)

На рис. 16.3 отдельно изображены элемент dz, радиус-вектор и углы и . Из геометрических построений рис. 16.2 и 16.3 следует:

. (16.8)

Рис. 16.2

Рис. 16.3

Подставляем (16.8) в (16.7) и интегрируем в пределах от до :

(16.9)

В случае бесконечного соленоида

(16.10)