Электрический ток в металлах осуществляется электронами проводимости, которым согласно основным представлениям классической электронной теории металлов приписываются следующие свойства:
- электроны проводимости в металле рассматриваются как одноатомный идеальный газ, концентрация которого n0 1028-1029 м-3;
- электроны проводимости совершают хаотическое тепловое движение, сталкиваются с ионами, совершающими тепловые колебания относительно положений равновесия;
- предполагается, что длина свободного пробега электронов порядка межатомного расстояния (а~10-10 м):
<λ> ~ 10-10 м, (2.1)
а средняя энергия теплового движения
= kT, (2.2)
где m – масса электрона, k – постоянная Больцмана, Т – температура.
При Т =273 К Vкв 105 (2.3)
- движение электронов в металле подчиняется законам классической физики;
- под действием поля электроны в металле движутся с некоторой скоростью, называемой скоростью дрейфа Vдр . Максимальное значение (Vдр)max можно оценить с помощью (1.4) по экспериментальному факту: максимальное значение плотности тока jmax в металлах не может превышать значения 10 jmax=en0(Vдр) max , jmax<10
(Vдр)max< ( 10-3 ). (2.4)
Из (2.3) и (2.4) следует: скорость дрейфа на много порядков меньше скорости хаотического теплового движения
Vдр Vкв (2.5)
На основе изложенных выше представлений классическая электронная теория металлов выводит все основные законы, описывающие процессы в металлах.
§3. Подвижность носителей заряда. Проводимость. Закон Ома в локальной и интегральной формах. ЭДС. Напряжение.
Используя второй закон Ньютона, найдём ускорение электрона, движущегося в поле Е
. (3.1)
Обозначим среднее время пробега электрона между соударениями с ионами <τ> . Полагая скорость направленного движения электрона после соударениями раной нулю, находим среднее значение максимальной скорости электрона перед соударением с ионами
vmах = <τ> , (3.2)
Среднее же значение скорости между соударениями <v>= <vmax>/2 и
<v> = <τ> , (3.3)
Из (3.3) следует, что средняя скорость дрейфа пропорциональна величине напряженности поля E, а коэффициент пропорциональности µ
(3.4)
называется подвижностью носителя заряда.
Запишем плотность тока (1.4) в металле используя среднее значение скорости дрейфа <v> (3.3)
= qn0 =еn0 = . (3.5)
Величина γ равная
γ= (3.6)
называется проводимостью, а уравнение
= γ (3.7)
законом Ома в локальной форме.
Аналогичный подход к рассмотрению тока осуществляется и для жидкостей и газов с некоторыми уточнениями.
В пространстве, где протекает электрический ток, на заряды могут действовать силы как со стороны других зарядов, характеризуемые электростатическим полем Е, так и силы не электростатического происхождения, называемые сторонними. Сторонние силы действуют на носители тока внутри источников тока (аккумуляторов, электрических генераторов и т.п.). Сторонние силы *, также как и электростатические , характеризуют напряжённостью
*= */q (3.8)
Закон Ома (3.7) в присутствии сторонних сил примет вид
= γ ( + *) . (3.9)
Используя (3.9), найдём выражение для величины тока на некотором участке цепи. Умножим скалярно обе части (3.9) на вектор элемента участка d:
d= γ ( d+ *d). (3.10)
Знак скалярных произведений dи *dплюс(+), если вектора совпадают по направлению, и минус(-), если их направления противоположны. Проинтегрируем (3.10) по длине цепи (рис.3.1) с учётом сказанного. Для простоты будем считать цепь прямолинейной, вектора , и * не меняющимися по сечению S.
Рис.3.1
, (3.11)
, (3.12)
. (3.13)
В соответствии с (I.4.7) интеграл , т.е численно равен работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль цепи. Смысл интеграла , называемого электродвижущей силой (ЭДС) и обозначаемого ε (рис.3.2), аналогичен – его величина численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль цепи. Действительно,
ε = = А*/q. (3.14)
Из (3.11) - (3.14) получим
= ε (3.14)
Величину ρ=1/γ называют удельным сопротивлением проводника.
Умножим и разделим левую часть на S: = , где величину R
(3.14)
называют сопротивлением проводника.
Окончательно, (3.14) записывается в виде
= ε (3.15)
и носит название закона Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме или обобщённого закона Ома. В этой формуле перед правой частью выбирается знак «+», если направление тока на участка 1-2 совпадает с направлением обхода участка 1-2 и знак «-», если нет; для ЭДС ε выбирается знак «+»,если ЭДС способствует движению положительных зарядов в направлении обхода (в направлении 1-2), и знак «-»,если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в направлении обхода 1-2. (рис. 3.2).
Рис. 3.2.
Суммарная работа кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль участка цепи
U=( ) ε (3.16)
называется напряжением на участке. В случае равенства нулю одного из слагаемых напряжение совпадает по величине либо с разностью потенциалов, либо с ЭДС. Величину IR называют падением напряжения на участке цепи.
§4. Закон Джоуля-Ленца в локальной и интегральной формах.
Кинетическая энергия, приобретенная электроном в электрическом поле при соударении с ионами решетки переходит в энергию колебаний ионов
(4.1)
За 1 с электрон испытывает <N> = 1/<τ>столкновений и отдает энергию W= <N> W1.В единице объема проводника имеется n0 электронов и они отдают в единицу объема энергию ω = Wn0=<N> W1 n0= n0:
ω = n0 (4.2)
Подставим в (4.2) для vmах значение (3.2) vmах = <τ> и с учётом (3.6) (γ= )для энергии ω, выделяемой в единицу времени в единице объема проводника получаем выражение
ω = γЕ2 ,(4.3)
которое можно записать с использованием (3.7) и в других формах
ω = · ,ω =ρj2 . (4.3´)
Величина ω имеет смысл удельной мощности выделяемой в объеме энергии. Очевидно, энергию, выделяемую в объеме V проводника за время dt можно найти интегрированием
.(4.4)
Не приводя вычислений, аналогичных приведенным выше, запишем результат интегрирования (4.4):
δQ=I2Rdt, (4.5)
где I – сила тока в цепи сопротивлением R.
§5. Закон Видемана-Франца.
На основе представлений классической электронной теории металлов можно получить закон, найденный Видеманом и Францем (1853г.) экспериментально:
=С, (5.1)
К - коэффициент теплопроводности, γ – проводимость металла, коэффициент С не зависит от рода металла и одинаков для всех металлов при одинаковой температуре.
Вычисления коэффициента С с использованием представлений электронной теории дают
С = 3Т ,(5.2)
где k - постоянная Больцмана, е – заряд электрона, Т – температура металла. Значение коэффициента С имеет хорошее совпадение с со значением, установленным экспериментально.
§6. Трудности классической электронной теории металлов.
Классическая электронная теория металлов и получаемые в ней результаты имеют чрезмерно упрощённый характер. Г.Лоренц предпринял попытки её уточнения. Он использовал, в частности, распределение электронов в металле по скоростям теплового движения. В результате уточнений полученные теоретически формулы для проводимости в законе Ома и коэффициента С в законе Видемана-Франца давали худшие совпадения вычисленных значений с экспериментально найденными величинами. Дальнейшие уточнения давали всё большее расхождение с экспериментом. Кроме того, вычисления теплоёмкости в рамках классической электронной теории совершенно не совпадали с результатами измерений. В результате появилось понимание, что трудности носят принципиальный характер и связаны с моделью электронов в металле как идеального газа. Трудности были разрешены только с созданием квантовой теории.
§7. Расчет разветвленных цепей постоянного тока.Правила Кирхгофа.
Любая сложная электрическая цепь состоит из отдельных участков, для каждого из которых можно записать уравнение закон Ома в интегральной форме. Полученная система уравнений по известным ЭДС и сопротивлениям позволяет найти токи во всех участках. В электротехнике наработано большое количество методов, упрощающих расчеты.
Расчёт разветвленных цепей постоянного тока упрощается в частности, при использовании правил Кирхгофа.
Любая точка разветвленной электрической цепи, в которой сходится не менее трех проводников тока, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла – отрицательным (рис. 7.1).
Первое правило Кирхгофа сформулировано для узла электрической цепи: алгебраическая сумма сил токов в узле электрической цепи равна нулю, т.е.
где n - число проводников, сходящихся в узле.
При указанных на рис. 7.1 направлениях токов в проводниках первое правило Кирхгофа запишется в виде
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.
Второе правило Кирхгофа вытекает из закона Ома в интегральной форме для разветвленных цепей. Допустим, в сложной электрической цепи имеется замкнутый контур, состоящий из трех участков (рис. 7.2.). Условимся обходить контур по часовой стрелке. Все токи, совпадающие по направлению с выбранным направлением обхода контура, считаются положительными. ЭДС источников считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к отдельным участкам контура закон Ома, запишем:
Складывая почленно эти уравнения, получим:
Таким образом, второе правило Кирхгофа гласит: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, т.е.
где n – количество источников тока в контуре; m – число участков в контуре.
При использовании правил Кирхгофа обычно придерживаются определённой последовательности действий:
1. Произвольно выбирают направления токов в ветвях цепи, при этом учитывают, что ток в последовательно соединённых элементах одинаков. Действительные направления токов в схеме определяются после завершения расчетов: если искомый ток получился положительным, то его направление было выбрано правильно, если отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.
2. Выбирают направления обхода замкнутых контуров цепи (по часовой или против часовой стрелке). Произведение положительно, если ток на данном участке совпадает по направлению с направлением обхода; ЭДС, действующие по направлению обхода, считаются положительными, против направления обхода – отрицательными.
3. Составляют столько уравнений, чтобы их число было равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей в схеме. По первому правилу Кирхгофа составляют n-1 уравнений, где n – число узлов в схеме. Остальные уравнения составляют по второму правилу Кирхгофа.
4. Для проверки расчетов составляют баланс мощности в цепи: алгебраическая сумма мощностей источников тока равна сумме мощностей, рассеиваемых в ветвях схемы, т.е.
где n- число источников тока в цепи; m – количество ветвей в схеме.
1028-1029 м-3;
= 
kT, (2.2)
105 
(2.3)
электроны в металле движутся с некоторой скоростью, называемой скоростью дрейфа Vдр . Максимальное значение (Vдр)max можно оценить с помощью (1.4) по экспериментальному факту: максимальное значение плотности тока jmax в металлах не может превышать значения 10 
jmax=en0(Vдр) max , jmax<10 
( 
10-3 
Vкв (2.5)
. (3.1)
<τ> , (3.2)
<τ> , (3.3)
(3.4)
= qn0 
=еn0 
= 
. (3.5)
(3.6)
*, также как и электростатические 
*= 
:
*d
). (3.10)
, (3.11)
, (3.12)
. (3.13)
, т.е численно равен работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль цепи. Смысл интеграла 
, называемого электродвижущей силой (ЭДС) и обозначаемого ε (рис.3.2), аналогичен – его величина численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль цепи. Действительно,
= А*/q. (3.14)
= 
ε (3.14)
, где величину R 
(3.14)
= 
(4.1)
n0:
(4.2)
.(4.4)
=С, (5.1)
Т ,(5.2)
Любая точка разветвленной электрической цепи, в которой сходится не менее трех проводников тока, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла – отрицательным (рис. 7.1).
положительно, если ток на данном участке совпадает по направлению с направлением обхода; ЭДС, действующие по направлению обхода, считаются положительными, против направления обхода – отрицательными.