Теоретическое введение

Рис. 20.1

Ко­ле­ба­тель­ным кон­ту­ром на­зы­ва­ет­ся элек­три­че­ская цепь, со­стоя­щая из вклю­чен­ных по­сле­до­ва­тель­но ка­туш­ки индуктивностью L, кон­ден­са­то­ра емкостью С и резисто­ра со­про­тив­ле­ни­ем R (рис. 20.1).

Ко­ле­ба­тель­ные кон­ту­ры слу­жат для возбуждения и под­держ­ания элек­тро­маг­нит­ных колеба­ний. Ес­ли в ко­ле­ба­тельном кон­ту­ре отсутствуют внеш­ние ис­точ­ни­ки элек­три­че­ской энергии, то для воз­бу­ж­де­ния в кон­ту­ре ко­ле­ба­ний необ­хо­ди­мо пред­ва­ри­тель­но за­ря­дить кон­ден­са­тор. По второму правилу Кирхгофа для контура на рис.20.1 можем записать:

, (20.1)

где – напряжение на активном сопротивлении, – напряжение на конденсаторе, – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке индуктивности. Тогда из (20.1) получим:

. (20.2)

Далее учтем, что сила тока в цепи – это производная заряда конденсатора по времени: , а , тогда после почленного деления уравнения (20.1) на L получим:

. (20.3)

Уравнение (20.3) представляет собой дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потери энергии на джоулево тепло в резисторе R.

Если ввести в рассмотрение коэффициент затухания b=^R/_2L и собственную частоту колебаний w₀ (w₀²=¹/_(LC)), представляющую собой частоту гармонических колебаний в идеальном колебательном контуре (при R=0):

; , (20.4)

то уравнение (20.3) можно записать в виде:

. (20.5)

При этом колебания заряда будут совершаться по закону:

, (20.6)

где циклическая частота затухающих колебаний ω меньше частоты собственных гармонических колебаний w₀:

, (20.7)

а амплитуда с течением времени уменьшается по экспоненте:

A(t)=q₀e^-βt. (20.8)

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими. Если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами заряда и определять по формуле:

(20.9)

Одной из величин, характеризующих быстроту затухания колебаний, является логарифмический декремент затухания l, численно равный натуральному логарифму отношения амплитуд двух следующих друг за другом колебаний:

, (20.10)

где колебания с номерами n и (n+1) отстоят друг от друга по времени на один период:

. (20.10а)

Здесь А(t) – амплитуда заряда на обкладках конденсатора в момент вре­ме­ни t; А(t+T) – амплитуда заряда в момент времени (t+T); t - время ре­лак­са­ции, то есть про­ме­жу­ток вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­ро­го ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний умень­ша­ет­ся в e раз (е – основание натурального логарифма); N_e- чис­ло ко­ле­ба­ний, со­вер­шае­мых за вре­мя t.

Рис. 20.2

Логарифмический декремент затухания связан с добротностью кон­ту­ра Q, которая при малых значениях l равна:

. (20.11)

Что­бы в ре­аль­ном ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре (рис.20.2) по­лу­чить не­за­ту­хающие элек­тро­маг­нит­ные колеба­ния, в не­го нуж­но вклю­чить ис­точ­ник электрической энер­гии, ЭДС e ко­то­ро­го из­ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни по гар­мо­ни­че­ско­му за­ко­ну:

e(t)=e₀cos(w^. t). (20.12)

В ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре ус­та­нав­ли­ва­ют­ся вы­ну­ж­ден­ные ко­ле­ба­ния с частотой w. Эти ко­ле­ба­ния мож­но рас­смат­ри­вать как про­те­ка­ние в це­пи, содержащей ре­зи­стор со­про­тив­ле­нием R, кат­уш­ку ин­дук­тив­но­стью L и конденсатор ем­ко­стью С, пе­ре­мен­но­го то­ка, ко­то­рый мож­но счи­тать квазистацио­нар­ным. Ве­ли­чи­ну то­ка I оп­ре­де­лим, за­пи­сав второе правило Кирхгофа для замкнутого контура:

, (20.13)

где ЭДС самоиндукции равна

, (20.14)

а напряжение на конденсаторе

. (20.15)

Поскольку сила тока

, (20.16)

то после подстановки в (20.13) выражений (20.14) – (20.16) и деления на L получим:

. (20.17)

Использовав понятие коэффициента затухания b и частоты свободных незату­хаю­щих колебаний w₀, уравнение (20.17) можно преобразовать к виду:

, (20.18)
Если e(t) меняется с течением времени по гармоническому закону (20.12), решением уравнения (20.18) будет гармоническая функция:

(20.19)

с амплитудой q₀ и начальной фазой j₀, зависящими от частоты w:

, (20.20)

. (20.21)

Си­лу то­ка в ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре при ус­та­но­вив­ших­ся выну­ж­ден­ных колеба­ни­ях в нем най­дем из (20.19):

, (20.22)

где

, (20.23)

. (20.24)

Зависимость I₀(w) не является монотонной функцией w, а достигает максимального значения при

. (20.25)

Значение w,при которой I₀ имеет мак­си­маль­ное зна­че­ние, называется резонансной частотой w_рез. Из (20.25) следует, что

. (20.26)

Яв­ле­ние рез­ко­го воз­рас­та­ния ам­пли­ту­ды вы­ну­ж­ден­ных элек­тро­маг­нит­ных ко­ле­ба­ний при приближении час­то­ты пи­таю­щей ЭДС к частоте собственных колебаний контура называется электрическим резонансом.

Рис. 20.3

Графики зависимости I₀(w) при различных сопротивлениях цепи R называются резонансными кривыми колебательного контура (рис.20.3).

Найдем падение напряжения на отдельных участках показанной на рис. 20.2 цепи переменного синусоидального тока, определяемого со­от­но­ше­ни­ем (20.22):

, (20.27)

, (20.28)

, (20.29)

причем

, (20.30)

или

, (20.31)

где – емкостное сопротивление, – индуктивное сопротивление, R –активное электрическое сопротивление.

Величина называется реактивным сопротивлением электрической цепи, а

(20.32)

полным сопротивлением, или импедансом. Пользуясь этими понятиями, можно записать:

(20.33)

При из (20.32) и (20.33) получим: , тогда , а полное сопротивление Z принимает минимальное значение . В этом случае

,

, (20.34)

.

Так как U_C и U_L согласно (20.27) и (20.29) изменяются в противофазе, а амплитуды их одинаковы (20.34), то общее падение напряжения на участке цепи 1-R-L-2 (рис.20.2)

U=U_R+U_L+U_C=U_R=e₀cos(wt). (20.25)

Рассмотренный случай резонанса называют резонансом напряжений. Нетрудно видеть из (20.34), что при резонансе напряжений

. (20.26)

На рис. 20.4 при­ве­де­ны за­ви­си­мо­сти амплитуд­но­го зна­че­ния на­пря­же­ния на конденса­то­ре (кри­вая 1) и на­пря­же­ния на выходе ге­не­ра­то­ра (кри­вая 2) от час­то­ты питающей ЭДС. Из при­ве­ден­ных за­ви­си­мо­стей вид­но, что наи­большее зна­че­ние ам­пли­ту­да напря­же­ния на кон­ден­са­то­ре име­ет при w < w₀.

Учитывая, что и q изменяется в соответствии с (20.20), можно показать, что частота, при которой максимально напряжение на ёмкости

. (20.27)

Вид резонансных кривых колебательного контура для различных значений R представлен на рис. 20.3. 1 – резонансная кривая для контура с меньшим сопротивлением, чем кривая 2:

R₁< R₂,

тогда в соответствии с (20.26) добротности контуров: Q₁ > Q₂. "Ост­ро­ту" ре­зо­нанс­ных кри­вых мож­но оха­рак­те­ри­зо­вать с по­мо­щью относитель­ной ши­ри­ны Dw/w, где Dw – разность зна­че­ний w₂ и w₁ циклических час­тот, со­от­вет­ст­вую­щих зна­че­нию тока (рис.20.3):

.

Из (20.23) получим уравнение для w₁ и w₂:

,

имеющее 4 корня – два отрицательных и два положительных. Поскольку частота должна быть w>0, то оставим только положительные корни:

; , (20.28)

тогда Dw=w₂–w₁=2b. Следовательно, от­но­си­тель­ная ши­ри­на ре­зо­нанс­ной кри­вой ко­ле­ба­тель­но­го кон­ту­ра рав­на:

. (20.29)

По (20.4) , тогда , и

. (20.30)