Теоретическое введение

В 1820 году датский физик Х. Эрстед обнаружил, что проводник с током воздействует на магнитную стрелку. Вскоре Ампер установил взаимодействие параллельных токов и экспериментально доказал эквивалентность соленоида и постоянного магнита. Это позволило поставить задачу о сведении всех магнитных взаимодействий к взаимодействию элементов тока.

При истолковании магнитного взаимодействия токов будем исходить из теории близкодействия, согласно которой причина возникновения сил заключается в появлении вокруг проводников с током магнитного поля. Магнитное поле тока и оказывает силовое воздействие на магнитную стрелку или на другой проводник с током.

Для количественной характеристики магнитного поля вводится понятие индукции магнитного поля . Поле вектора можно представить графически с помощью линий индукции – линий, касательные к которым совпадают в каждой точке с вектором (рис.11.1). Число линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярно ей, численно равно величине вектора .

Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитное поле, создаваемое электрическим током, текущим по проводникам с различной конфигурацией и установили, что величина индукции магнитного поля пропорциональна силе тока.

Кроме того, она зависит от формы проводника, от расстояния и направления от проводника с током до исследуемой точки. По их просьбе П. Лаплас провел анализ полученных результатов и выяснил, что для магнитного поля, так же как и для электростатического, справедлив принцип суперпозиции:

. (11.1)

Здесь – величина индукции магнитного поля, созданного током I, текущим по элементарному участку проводника длиной dl. При этом элемент тока создает магнитное поле с индукцией:

, (11.2)

где – магнитная постоянная; r – расстояние от элемента тока до рассматриваемой точки (рис.11.2). Уравнение (11.2) получило название закона Био-Савара-Лапласа. Модуль вектора можно найти по формуле:

(11.3)

где a – угол между векторами и .

Таким образом, закон Био-Савара-Лапласа позволяет, если известна форма проводника, свести задачу определения индукции магнитного поля B, создаваемого проводником с током, к задаче суммирования элементарных индукций, согласно формулам (11.3) и (11.1).

Так, индукция B возле прямолинейного проводника в точке А

, (11.4)

где l – длина проводника; r – расстояние от проводника до точки А; I – сила тока, идущего по проводнику (рис.11.3).

Индукция B в центре кругового тока (рис.11.4)

, (11.5)

где R – радиус кругового тока; I – сила тока.

Индукция B на оси соленоида бесконечной длины

, (11.6)

где n – число витков на единицу длины соленоида.

Вычислим подробнее индукцию магнитного поля на оси кругового витка с током (рис. 11.5).

Элементарная индукция поля, созданного в точке А элементом тока , направлена по правилу правого винта перпендикулярно радиус-вектору , проведенному от элемента тока в точку А (рис.11.5), а её модуль можно найти из (11.3):

, (11.7)

где α=90⁰ – угол между векторами и . Разложим на две составляющих: – вдоль оси контура (ОХ) и – перпендикулярную оси ОХ, тогда

, . (11.8)

При сложении составляющих магнитного поля , перпендикулярных оси ОА, они компенсируют друг друга вследствие симметрии контура. Поэтому результирующая индукция магнитного поля в точке А направлена вдоль оси кругового тока и равна по модулю:

. (11.9)

Здесь учтено, что величины I, r, β постоянны, а интеграл по контуру равен длине окружности контура. Из рис.11.5 найдем , тогда:

, (11.10)

или:

. (11.11)

В частном случае, когда h=0, получаем формулу (11.5).