Краткие теоретические сведения

В настоящей работе исследуется цепь переменного тока, состоящая из параллельно включенных катушки индуктивности и батареи конденсаторов (рис.15).

Рис.15. Цепь переменного тока с параллельным соединением катушки индуктивности и конденсаторной батареи (параллельная RLC цепь).

При параллельном соединении электроприемников на каждую ветвь цепи подается одно и то же напряжение, равное напряжению, приложенному к зажимам цепи. Для схемы, представленной на рис.15, имеем U = U_К = U_C,

где U – напряжение, приложенное к зажимам цепи;

U_К – напряжение, приложенное к катушке индуктивности;

U_С – напряжение, приложенное к конденсаторной батарее.

Ток I в неразветвленной части такой цепи определяется как геометрическая сумма токов катушки I_К и конденсатора I_С, причем ток катушки в свою очередь является геометрической суммой активного I_R и индуктивного I_L токов.

I = = U∙ = UY (23)

где g_K - активная проводимость катушки, См;

b_LK - индуктивная проводимость катушки, См;

b_C - емкостная проводимость батареи конденсаторов, См;

Y – полная проводимость цепи, См.

причем

g_K = ; (24)

b_L = ; (25)

b_C = = ; (26)

Y = , (27)

Единицей измерения электрической проводимости является сименс [См].

Формула (23) представляет собой выражение закона Ома для цепи переменного тока с параллельным соединением катушки (g_K и b_L) и конденсатора (b_C). В общем случае при наличии нескольких ветвей с активными, индуктивными и емкостными проводимостями выражение закона Ома для параллельной цепи переменного тока примет вид

I = U ∙ Y = U ∙

Ток, протекающий через катушку I_К = U∙ (28)

Ток, протекающий через конденсатор I_С = = U ∙ b_C (29)

Активная мощность, выделяемая в цепи Р = (30)

В рассматриваемой цепи можно выделить три характерных режима работы в случаях, когда I_L < I_C , I_L > I_C и I_L = I_C . Векторные диаграммы для этих режимов представлены на рис.16.

а) б)

в)

Рис.16. Векторные диаграммы цепи переменного тока с параллельным соединением катушки индуктивности и конденсаторной батареи: а) I_L < I_C; б) I_L = I_C; в) I_L > I_C .

Векторная диаграмма, представленная на рис.16б аналогична векторной диаграмме цепи переменного тока с активным сопротивлением в том смысле, что вектора напряжения U , приложенного к зажимам цепи, и тока I в неразветвленной части цепи совпадают по фазе, угол сдвига межу ними φ=0 и коэффициент мощности cos φ = 1. В этом случае ток I в неразветвленной части цепи будет иметь минимально возможное значение при данной величине приложенного напряжения. Из выражения (23) при I_L = I_С получаем

I_min = I_R= U∙g_K (31)

В соответствии с выражением (23) I_L = I_С в случае, если b_L = b_С.

Отсутствие влияния реактивных токов на величину тока в неразветвленной части цепи в этом случае объясняется тем, что равные между собой и смещенные относительно друг друга по фазе на 180º токи I_L и I_С взаимно компенсируются.

Режим работы, устанавливающийся в цепи переменного тока с параллельным соединением катушки и конденсатора в случае, когда индуктивная проводимость катушки (первой ветви) равна емкостной проводимости конденсатора (второй ветви) называется резонансом токов.

Сущность явления резонанса токов заключается в том, что ток в неразветвленной части цепи (общий ток) уменьшается до минимально возможного значения, а по катушке и конденсатору (ветвям цепи) протекают реактивные токи I_L и I_С, которые могут в несколько раз превышать общий ток I.

Для резонанса напряжений (см. лаб.работу №2) было получено выражение для определения резонансной частоты f_Р при заданных величинах индуктивности катушки L и емкости конденсатора С.

f_Р = (32)

Общую формулу для расчета резонансной частоты любой параллельной цепи переменного тока из условия b_L = b_С получить нельзя, т.к. в выражения (25) и (26) для b_L = b_С входят полные сопротивления ветвей цепи, которые будут выражаться различными формулами в зависимости от того, какие сопротивления (активные, индуктивные, емкостные) входят в ту или иную цепь. Для цепи, представленной на рис.15, из условия b_L = b_С в соответствии с выражениями (25) и (26) получаем

= , откуда = ωС (33)

Из выражения (33) получаем формулу для расчета резонансной угловой частоты переменного тока

ω_Р = . (34)

Если рассматривать идеальную катушку индуктивности, в которой R_K =0,

из выражения (34) получаем

ω_Р = , рад/с; f_Р = , Гц (35)

Таким образом, для простейшей параллельной индуктивно-екостной электрической цепи, состоящей из двух ветвей, (рис.17) условие резонанса токов b_L = b_С превращается в условие Х_L = Х_С , такое же как и условие резонанса напряжений для последовательной цепи переменного тока.

Рис.17. Простейшая параллельная LC–цепь переменного тока.

Действительно, для цепи, представленной на рис.17

b_L = ; b_C =

и из условия b_L = b_С получаем условие Х_L = Х_С .

Резонанс токов, также как и резонанс напряжений, может быть получен изменением угловой частоты переменного тока ω, индуктивности катушки L или емкости конденсатора С. В данной работе резонанс токов получают путем изменения величины емкости С.

При увеличении емкости конденсаторной батареи емкостное сопротивление Х_С = будет уменьшаться, а емкостная проводимость b_C = = ωС увеличиваться. Если подобрать значения индуктивности катушки L и начальной емкости конденсаторной батареи С₀ таким образом, чтобы b_L было больше, чем b_C0, то при увеличении емкости общая проводимость цепи Y в соответствии с выражение (27) будет уменьшаться, до того момента, когда b_C станет равным b_L, а затем начнет возрастать. При этом ток в цепи в соответствии с выражением (23) также будет сначала уменьшаться, достигнет минимума при b_L = b_С, а затем начнет увеличиваться. Резонансу токов будет соответствовать значение емкости конденсаторной батареи С_Р, при котором ток I минимален (рис.18).

Рис.18. К определению резонансной емкости конденсаторной батареи при резонансе токов

Определение параметров цепи переменного тока с параллельным соединением катушки и конденсатора осуществляется следующим образом.

При заданном значении напряжения, приложенного к зажимам цепи U и при каждом из заданных значений емкости конденсаторной батареи С_i измеряются величины токов неразветвленной части цепи I, катушки I_К и конденсатора I_С, а также активной мощности цепи Р. Остальные параметры являются расчетными величинами.

Полная мощность цепи S = I ∙ U, ВА.

Коэффициент мощности цепи cos φ = .

Угол сдвига фаз между током и напряжением φ = arсcos , град.

Активная составляющая тока I_R = I ∙ cos φ , A.

Индуктивная составляющая тока I_L = , A.

Полное сопротивление катушки Z_K = , Ом.

Активное сопротивление катушки R_K = , Ом.

Индуктивное сопротивление катушки Х_L = , Ом.

Активная проводимость катушки g_K =
Индуктивная проводимость катушки b_L = , Cм.

Реактивная (индуктивная) мощность катушки Q_L = I_K ² ∙ Х_L, ВАр.

В данной лабораторной работе рассматривается параллельное соединение катушки и конденсатора, поэтому напряжение, приложенное к катушке, остается постоянным независимо от величины емкости конденсатора. Сопротивление катушки при проведении эксперимента также не изменяется. Из выше представленного следует, что величины I_R, I_L , Z_K, R_K, Х_L, g_K, b_L, Q_L достаточно вычислить один раз.

Емкостное (полное) сопротивление конденсатора

Емкостная проводимость конденсатора b_L = , Cм.

Реактивная (емкостная) мощность конденсатора Q_С = I_С² ∙ Х_С, ВАр.

Общая (эквивалентная) проводимость Y = , Ом.

Реактивная мощность цепи Q = Q_L – Q_С, ВАр.

ПЛАН РАБОТЫ.

Задание 1. Исследовать электрическую цепь переменного тока с параллельным соединением катушки и конденсатора и явление резонанса токов.

1. Собрать электрическую схему (рис.19).

Рис.19. Схема цепи переменного тока с параллельным соединением катушки и конденсатора: ЛАТР – лабораторный автотрансформатор; V - вольтметр 75-150-300-600 В; A₁, A₂, A₃ – амперметры на 0,25-0,5-1,0 А. W – ваттметр U = 75-150-300-600 В; I = 1-2 A; катушка - клеммы 2-3 (220 В) (сердечник не замкнут); батарея конденсаторов С=32 мкФ.

2. Установить напряжение на входе исследуемой электрической схемы U_вх = 70 В с помощью ЛАТРа.

3. Измерить значения тока в неразветвленной части цепи I, тока катушки I_К и тока конденсатора I_C, а также активной мощности P, изменяя емкость батареи конденсаторов от 12 до 32 мкФ в следующем порядке: 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 30, 32 мкФ.

4. Рассчитать параметры параллельной цепи переменного тока, указанные в табл.6.

5. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 6.

6. Построить графики зависимостей тока в неразветвленной части цепи I, тока катушки I_К, тока конденсатора I_C и коэффициента мощности cos φ от емкости конденсаторной батареи.

7. Построить векторные диаграммы цепи переменного тока, соответствующие значениям емкости С = 16 мкФ, С = 26 мкФ и С = С_Р (резонанс токов).