В настоящей работе исследуются три электрические цепи переменного тока, состоящие из катушки индуктивности, батареи конденсаторов и их последовательного соединения. Реальная катушка индуктивности характеризуется активным сопротивлением RК и индуктивным сопротивлением
ХL = ω∙L, (11)
где ω – угловая частота переменного тока, рад/с,
L – индуктивность катушки, Гн (генри).
Заметим, что при исследовании идеальной катушки индуктивности ее активным сопротивлением пренебрегают и рассматривают идеальную катушку, как элемент, обладающий только индуктивным сопротивлением ХL.
Батарея конденсаторов характеризуется емкостным сопротивлением
ХС = , (12)
где C – емкость батареи, Ф .
И индуктивное и емкостное сопротивления являются реактивными сопротивлениями.
При последовательном соединении катушки и конденсатора (рис. 6) ток цепи определяется как
I = = = (13)
где Z - полное сопротивление цепи.
Рис.6. Цепь переменного тока с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивлений (последовательная R-L-C цепь).
Формула (13) представляет собой выражение закона Ома для цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора.
В общем случае при наличии в цепи нескольких сопротивлений каждого типа (активных, индуктивных и емкостных) выражение закона Ома для последовательной цепи переменного тока примет вид
I = =
Напряжение на катушке
UK = I ∙ ZK = (14)
где ZK – полное сопротивление катушки.
Напряжение на конденсаторе
UС = I ∙ ХС (15)
Активная мощность катушки
P = I 2 ∙ RK . (16)
Если в цепь переменного тока включить только катушку индуктивности с активным сопротивлением RK и индуктивным сопротивлением ХL, то ток в цепи определяется как
I = = (17)
Известно, что в активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе, а в индуктивном напряжение опережает ток по фазе на 90º.
Векторная диаграмма для реальной катушки индуктивности представлена на рис.7, где φ – угол сдвига фаз между током и напряжением в катушке.
Рис.7. Векторная диаграмма электрической цепи с реальной катушкой индуктивности.
Разделив все стороны треугольника напряжений на величину тока I, получим треугольник сопротивлений (рис.8), а умножив на I2 – треугольник мощностей (рис.9), где Р, Q, S – активная, индуктивная (реактивная) и полная мощность катушки соответственно.
Рис.8. Треугольник сопротивлений для катушки индуктивности
Рис.9. Треугольник мощностей для катушки индуктивности
Очевидно, что все три треугольника подобны, т.е. их углы равны между собой. Сos φ называется коэффициентом мощности цепи, т.к. его величина показывает, какая часть полной мощности S является активной.
cos φ = = = (18)
Таким образом, коэффициент мощности цепи может быть рассчитан как через мощности, так и через сопротивления или напряжения.
Расчет параметров катушки индуктивности при известных величинах I, U, P осуществляется следующим образом:
1) полное сопротивление из выражения (17) ZK = , Ом;
2) активное сопротивление из выражения (16) RK = , Ом;
3) индуктивное сопротивление из треугольника сопротивлений XL = , Ом;
4) полная мощность, измеряемая в вольт-амперах S = U∙ I, ВА;
5) коэффициент мощности в соответствии с выражением (18)
cos φ = ;
6) реактивная (индуктивная) мощность, изхмеряемая в вольт-амперах реактивных, из треугольника мощностей QL = , ВАр;
7) индуктивность катушки, измеряемая в генри, из выражения (9)
L = , Гн (19)
где ω = 2πf, f – частота тока в сети, Гц.
Частота тока в сети f = 50 Гц, откуда ω = 2π50 = 314 рад/с.
Если в цепь переменного тока включить только конденсатор с емкостным сопротивлением ХС, то выражение закона Ома (13) примет вид
I = = = U ω С (20)
Известно, что в емкостном сопротивлении напряжение отстает от тока по фазе на 90º.
Векторная диаграмма для конденсатора представлена на рис.10.
Рис.10. Векторная диаграмма электрической цепи с конденсатором.
Из векторной диаграммы можно сделать следующие выводы. Активное сопротивление конденсатора RC = 0; активная мощность конденсатора Р=0. Полное сопротивление конденсатора равно его реактивному сопротивлению ZC = XC = , а полная мощность – реактивной мощности S = QC = U∙ I. Коэффициент мощности cos φ = 0.
Емкость конденсатора определяется из выражения (12) C = .
При последовательном включении катушки индуктивности и конденсаторной батареи получаем электрическую цепь с последовательным соединением активного RК, индуктивного XL и емкостного XC сопротивлений.
В такой цепи можно выделить три характерных режима работы в случаях, когда XL > XС , XL < XС , XL = XС . Векторные диаграммы для этих режимов представлены на рис.11. 1, 2 ,3 соответственно. Здесь UX – реактивное напряжение последовательной цепи.
Рис.11. Векторные диаграммы цепи переменного тока с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивлений при:
1) XL > XС; 2) XL < XС; 3) XL = XС.
Векторная диаграмма, представленная на рис.11.3, аналогична векторной диаграмме цепи переменного тока с активным сопротивлением в том смысле, что все напряжение, приложенное к зажимам цепи, падает на активном сопротивлении, т.е. U = UR, вектора напряжения U и тока I совпадают по фазе, угол сдвига между ними φ = 0 и коэффициент мощности цепи cos φ = 1.
Ток при этом будет иметь максимально возможного значения при данной величине приложенного напряжения.
Из выражения (13) при XL = XС
Imax = = = (21)
Отсутствие влияния реактивных сопротивлений на величину тока в цепи в этом случае объясняется тем, что при равенстве между собой XL и XС равные между собой и смещенные относительно друг друга по фазе на 180º напряжения UL и UС взаимно компенсируются.
Режим работы, устанавливающийся в цепи переменного тока с последовательным соединением R, XL и XС в случае XL = XС называется резонансом напряжений.
Сущность явления резонанса напряжений заключается в том, что напряжения, возникающие на зажимах катушки и на обкладках конденсатора могут в несколько раз превышать напряжение, приложенное к зажимам цепи.
Частота, при которой в цепи с заданными величинами L и С достигается резонанс напряжений, называется резонансной частотой (ωР, fР). Ее значение можно определить из условий резонанса ХL= ХС
ωРL = ; ωр = ; fР = (22)
Резонанс напряжений может быть получен изменением угловой частоты переменного тока ω, индуктивности катушки L или емкости конденсаторной батареи С. В данной работе резонанс напряжений получают путем изменения величины емкости конденсаторной батареи.
При увеличении емкости конденсаторной батареи емкостное сопротивление цепи в соответствии с выражением (12) будет уменьшаться. Если подобрать значения индуктивности катушки L и начальной емкости конденсаторной батареи С0 таким образом, чтобы ХLбыло меньше, чем ХС0, то при увеличении емкости в соответствии с выражением (13) общее сопротивление цепи Z будет уменьшаться до того момента, когда ХС станет равным ХL, а затем начнет возрастать. При этом ток в цепи будет сначала увеличиваться, достигнет максимума при ХL= ХС, а затем начнет уменьшаться. Резонансу напряжений будет соответствовать значение емкости конденсаторной батареи СР, при котором ток I максимален (рис.12).
Рис.12. К определению резонансной емкости конденсаторной батареи при резонансе напряжений
Определение параметров цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора осуществляется следующим образом.
При заданном значении напряжения U, приложенного к зажимам цепи и при каждом из заданных значений емкости конденсаторной батареи Сi измеряются величины тока I, напряжения UK, приложенного к катушке, напряжения UC, приложенного к конденсатору и активной мощности цепи Р. Остальные параметры цепи являются расчетными величинами. UX = UL - UC
Активное сопротивление катушки RK = , Вт.
Полное сопротивление катушки ZK = , Ом.
Индуктивное сопротивление катушки ХL= , Ом.
Сопротивление катушки в процессе проведения лабораторной работы не изменяется, поэтому величины RК, ZК, и ХL достаточно вычислить один раз.
Емкостное сопротивление конденсатора ХС = , Ом.
Реактивная (индуктивная) мощность катушки QL = I 2 ∙ ХL, ВАр.
Реактивная (емкостная) мощность конденсатора QС = I 2 ∙ ХС, ВАр.
Реактивная мощность цепи Q = QL - QС, ВАр.
Полная мощность цепи S = I ∙ U = = , ВА.
Коэффициент мощности цепи cos φ =
Угол сдвига фаз между током и напряжением φ = arсcos ,
Падение напряжения на активном сопротивлении катушки UR = I ∙ RK, В.
Падение напряжения на индуктивном сопротивлении катушки UL = I ∙ XL, В.
Активная мощность в цепи измеряется ваттметром. Ваттметр имеет две измерительные обмотки: токовую обмотку и обмотку напряжения. Фактически ваттметр измеряет значения тока, протекающего через токовую обмотку и значение напряжения, приложенного к активным сопротивлениям, расположенным между зажимами обмотки напряжения, и затем вычисляет значения активной мощности в соответствии с выражением Р = I UR.
ПЛАН РАБОТЫ.
Задание 1. Определить электрические параметры катушки и конденсатора в цепи переменного синусоидального тока частотой f = 50 Гц.
1. Собрать электрическую схему c катушкой индуктивности (рис.13). Включая ваттметр, необходимо генераторные зажимы токовой обмотки и обмотки напряжения, отмеченные звездочками, присоединить к одному и тому же проводу со стороны источника электрической энергии (генератора).
Рис.13. Схема исследования цепи переменного тока с катушкой индуктивности и с конденсатором: ЛАТР – лабораторный автотрансформатор (ЛАТР); V - вольтметр 75-150-300-600 В; A – амперметр 1-2 А; W – ваттметр U = 75-150-300-600 В, I = 1-2 A.
2. Установить напряжение, подаваемое на катушку UВХ = 70 В, с помощью ЛАТРа.
3. Измерить ток в цепи I и активную мощность Р.
4. Заменив катушку конденсатором, повторить пп.2 и 3.
5. Рассчитать параметры катушки индуктивности и конденсатора, указанные в табл.4.
6. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 4.
7. Построить векторные диаграммы для цепей переменного тока с катушкой индуктивности и с конденсатором.
Задание 2. Получение резонанса напряжений в цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора.
1. Собрать электрическую схему (рис.14), используя приборы перечисленные в задании 1. Для измерения напряжений катушки UK и конденсатора UС использовать вольтметр V1 со свободными концами.
Рис.14. Схема исследования цепи переменного тока с последовательным соединением катушки и конденсатора.
2. Установить напряжение на входе исследуемой электрической схемы Uвх = 20 В с помощью ЛАТРа.
3. Измерить токи I, активные мощности P, напряжения на катушке UК и конденсаторе UC , изменяя емкость батареи конденсаторов (установленной на стенде) от 12 до 32 мкФ в следующем порядке: 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32 мкФ,
4. Рассчитать параметры последовательной цепи переменного тока, указанные в табл.5.
5. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 5.
6. Построить графики зависимостей тока в цепи I, напряжений на катушке UК и конденсаторе UC, активной мощности цепи Р, а также коэффициента мощности cos φ от емкости конденсаторной батареи.
7. Построить векторные диаграммы цепи переменного тока, соответствующие значениям емкости С = 16 мкФ, С = 26 мкФ и С = СР (резонанс напряжений).
, (12)
= 
= 
(13)
(14)
= 
(17)
= 
= 
(18)
, Ом;
, Ом;
, Ом;
, ВАр;
, Гн (19)
= 
= U ω С (20)
.
(21)
; ωр = 
; fР = 
(22)
, Вт.
, Ом.
, Ом.
, Ом.
= 
, ВА.
