Всякое число представляется (кодируется) набором цифр в определенной системе счисления. Наибольшее распространение получили позиционные системы счисления, в которых каждая цифра выражает число не только своим значением, но и положением (позицией) среди других цифр. Основание системы − это число q, равное количеству разных цифр, необходимых для выражения всех чисел в пределах одного разряда. Положительное число из i разрядов в позиционной системе с основанием q может быть представлено как
(10.1)
где а – любая цифра от 0 до q – 1 включительно;
первый член представляет собой старший разряд числа, а последний − младший.
Кодированное в десятичной системе счисления число, например, 397, представляется как 39710 = 3∙102 + 9∙101 + 7∙10о.
В цифровой технике нашли преимущественное применение элементы с двумя рабочими состояниями, одно из которых отождествляется с цифрой 1, а второе – с 0. Поэтому здесь распространено так называемое натуральное двоичное кодирование, при котором n- разрядное число выражается как
(10.2)
где может принимать значение 1или 0. Например, число 1310 при двоичном кодировании имеет вид 11012.
Наряду с этим находят применение и другие коды, позволяющие упростить арифметические действия. К ним относятся, в частности, обратный и дополнительный коды.
Двоичное число в обратном коде является инверсией прямого кода (все нули прямого кода числа заменяются единицами, а единицы – нулями). Дополнительный код образуется из обратного кода добавлением к нему 1. Так, десятичному числу 13 в обратном двоичном коде соответствует число 0010, а в дополнительном − 0011.
В таблице 1 приведены примеры записи чисел в двоичной, десятеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
Таблица 1.
A
B
C
D
E
F
Как видно из таблицы, в двоичной системе счисления каждое последующее число получается прибавлением единицы к младшему разряду, причем сумма нуля и единицы дает единицу, а сумма двух единиц дает нуль и перенос единицы в старший разряд, где снова суммируется цифра разряда и перенесенная единица и т.д. Такая операция называется сумма по модулю два.
Широко применяется двоично-десятичный код, в котором цифры каждого разряда десятичного числа представляются четырехразрядным двоичным числом (тетрадой). Так, число А10 = 397 в двоично-десятичном коде имеет вид А2 − 10 = 0011 1001 0111. Основное достоинство двоично-десятичного кода заключается в простоте взаимного перевода десятичных и двоичных чисел аппаратными средствами. Главный недостаток – громоздкость записи и избыточность, так как шесть двоичных комбинаций в каждой тетраде (от 10102 = 1010 до 11112 = 1510) не используются.
Последнего недостатка лишено двоично-шестнадцатеричное кодирование. Здесь все 16 двоичных комбинаций тетрад используются. Они соответствуют числам в шестнадцатеричной системе счисления, обозначаемым от 0 до 9 десятичными цифрами и от 10 до 15 буквами А, B, C, D, Е, F. Например, число 39710 в шестнадцатеричном коде имеет вид 18D16 (1∙162 + 8∙161 + 13∙16о), а в двоично-шестнадцатеричном – 0001 1000 11012 − 16. Как видно, здесь тетрады отображают числа 1, 8 и D шестнадцатеричной системы счисления, а в совокупности представляют собой обычный двоичный код.
Перевод чисел из системы счисления с произвольным основанием q в десятичную систему счисления (q=10) выполняется по вышеприведенным формулам, для чего требуется перевести в десятичную систему счисления числа аi и q. Несколько сложнее перевести числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q¹10. Наиболее просто такая операция выполняется для q=2, 8, 16.
Пусть требуется перевести число (1993) в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание системы счисления q = 16.
Перевод из десятеричной в двоичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание системы счисления q=2.
(10.1)
(10.2)
может принимать значение 1или 0. Например, число 1310 при двоичном кодировании имеет вид 11012.
