Графический метод

Этот метод применяется для решения задач с двумя неизвестными. Тогда система ограничений может быть изображена на плоскости, а образом целевой функции является линия уровня плоскости - прямая. Линию уровня перемещают параллельно самой себе по области ограничений и отмечают точку «входа» в область и точку «выхода». Это и будут точки максимума и минимума целевой функции. Остается найти значение целевой функции в этих точках.

Возможны следующие случаи:

¾ область допустимых решений не ограничена, задача не имеет оптимального решения (рис. 14, а);

¾ линия уровня параллельна одной из границ, и если на этой границе достигается оптимум, задача имеет бесчисленное множество решений (рис. 14,6);

¾ система ограничений противоречива, тогда задача решений не имеет (рис. 14, в);

¾ задача имеет единственное решение, лежащее в вершине выпуклого многоугольника допустимых решений (рис. 14, г).

Пример 1. Решить графически задачу.

Решение. Построим на плоскости область, заданную системой ограничений, и линию уровня целевой функции (рис. 15).

Рисунок 14 – Области допустимых значений

Видим, что точки входа и выхода линии уровня (жирная прямая на рис. 15) - это точки О и А.Вточке О(0; 0) целевая функция принимает значение 0. В точке А пересекаются прямые и . Решив систему из этих уравнений, получим координаты точки: х₁ = 40, х₂= 20. Целевая функция принимает в точке А значение 140. Следовательно, это и есть наибольшее значение целевой функции при данных ограничениях.

Рисунок 15 – Решение примера 1

Пример 2. Найти максимум целевой функции

на системе ограничений:

Решение. Построим систему ограничений и линию уровня целевой функции (рис. 16). Линия уровня целевой функции параллельна границе (2). Поэтому крайние точки, в которых линия уровня касается области. Точка на оси ординат с координатами (0; 3) и граница (2).

F(0; 3) =-3, а в любой точке границы (2) F = 2, например, F(2; 0) = 2. Таким образом, задача имеет единственное оптимальное решение при отыскании максимума функции и бесчисленное множество оптимальных решений при отыскании минимума.

Рисунок 16 – Решение примера 2

Замечание. Если в задаче система ограничений содержит более двух неизвестных, то для ее решения графический способ применяют частично в зависимости от наиболее ценных неизвестных или попарно рассматривают варианты.

Задачи для самостоятельного решения

1. Изобразить области, соответствующие решениям систем неравенств и равенств, заданных условиями:

а) б) в)

2. Решить задачи, исходя из геометрической интерпретации задачи линейного программирования:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

3)