Основные определения

Математическое программирование – раздел математики, в котором изучаются и разрабатываются теоретические положения и конкретные численные методы для решения планово-экономических задач (или на языке математики – экстремальных задач с ограничениями).

Определение 1. Функция F, экстремальное значение которой необходимо найти, называется целевой или ценовой (или показателем эффективности).

Характер экстремума обозначается следующим образом: .

Определение 2. Условие, описывающее реальную ситуацию и представленное в виде математических выражений, называют системой или областью ограничений.

Определение 3. Целевая функция в совокупности с системой ограничений, выраженные математическими символами, образуют математическую модель задачи. В математическую модель, как правило, входят неизвестные величины, определяющие характер целевой функции и системы ограничений.

Определение 4. Группы чисел, которые, будучи подставленными вместо неизвестных, дают конкретное числовое значение целевой функции, называются решением или планом задачи.

Определение 5. Решение (или план) называется допустимым, если все его значения удовлетворяют системе ограничений.

Определение 6. Решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным.

В зависимости от вида целевой функции и математических выражений, входящих в систему ограничений, математическое программирование разделяют на разные типы.

1. Если целевая функция и все выражения системы ограничений являются линейными (содержат неизвестные только первой степени), то математическое программирование, рассматривающее такие задачи, называется линейным программированием.

2. Если в математической модели целевая функция или хотя бы одно из ограничений системы нелинейны, программирование называется нелинейным.

3. Если на искомое решение налагается условие целочисленности неизвестных, то такой раздел называется целочисленное программирование.

4. Если известно, что за конкретный промежуток времени параметры математической модели изменяются, то такое программирование называется динамическим.

5. Если параметры математической модели являются не закономерными, а случайными величинами, то такое программирование называется стохастическим.

6. Если в математической модели имеется несколько целевых функций для одних и тех же условий, то такое программирование называется многокритериальным.

7. Если в математическую модель входят величины, содержащие бесчисленное множество переменных, то такое программирование называется бесконечномерным.