Свойство 4.

Заметим, что из равенства нe следует, что а является квадратичным

вычетом по модулю Р. В действительности, а является квадратичным вычетом по модулю Р тогда и только тогда, когда а — квадратичный вычет по модулю

каждого простого р_i, i= 1, 2, ..., s. В то же время из равенства следует, что a – квадратичный невычет по mod P.

Теорема 1. Пусть Р и Q – положительные взаимно простые нечет­ные модули. Тогда

3.1.16. Цепные дроби

Пусть a – положительное вещественное число. Положим q₁ =[a]. Тогда, если a нецелое, то

где a₂ >1. Продолжая этот процесс, получаем

Представление a в указанном виде называется разложением a в цепную (не­прерывную) дробь. При иррациональном a цепная дробь, очевидно, оказывает­ся бесконечной. При рациональном a дробь будет конечной. Покажем это.

Пусть a =a/b . Применим алгоритм Евклида:

Следовательно,

Теорема 1. Всякое иррациональное a разлагается в бесконечную цепную дробь. Всякое рациональное a разлагается в конечную цепную дробь.