Средняя мощность в цепи переменного тока

.

Вынужденные колебания могут сопровождаться возникновением резонанса тока или напряжения. На рис. 4.4 представлены резонансные кривые напряжения при различных добротностях контура (коэффициента затухания).

Рис. 4.4. Резонансные кривые

Примеры решения задач

Задача 4.1.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2,66 нФ и катушки без сердечника, намотанной из медного провода диаметром 0,5 мм (витки навиты вплотную и толщиной изоляции можно пренебречь). Длина катушки 20 см. Найти логарифмический декремент затухающих колебаний. Удельное сопротивление меди равно 1,7^.10^-8 Ом^.м.

Решение

Логарифмический декремент затухания выразим через период затухающих колебаний

(1)

и коэффициент затухания

: (2)

, (3)

а циклическую частоту ω_З затухающих колебаний – через собственную частоту контура

: (4)

. (5)

Здесь R – активное сопротивление катушки, а – ее индуктивность:

. (6)

Число витков катушки равно , так как витки расположены вплотную и изоляция провода ничтожно мала. Площадь сечения катушки выразим через ее радиус r: . Тогда из (6) получим: , или

. (7)

Активное сопротивление R катушки определяется длиной провода ( – длина одного витка) и его сечением

; ,

или . Таким образом, из (2) и (7) получим: ; или

. (8)

Теперь выразим частоту собственных колебаний из (4) и (7): ; ; а затем – частоту затухающих колебаний из (5) и (8):

;

. (9)

Уравнения (1), (3) и (9) дают:

; .

Окончательно получим: , или

.

Подставим численные значения:

.

Ответ: .

Задача 4.2.

В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно емкость 35,4 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и индуктивность 0,7 Гн. Найти силу тока и падение напряжения на емкости, активном сопротивлении и индуктивности.

Решение

По закону Ома для переменного тока:

, где –

полное сопротивление цепи переменного тока. Амплитудные значения напряжения и тока связаны с эффективными формулами: и , а циклическая частота равна: . Тогда , или

. (1)

Падение напряжения на каждом участке цепи можно найти по закону Ома для данного участка, используя формулы емкостного и индуктивного сопротивлений:

; (2)

; (3)

. (4)

Подставим численные значения в (1)‑(4):

А;

В;

В;

В.

Ответ: А; В; В; В.

Задача 4.3.

В цепь переменного тока частотой 50 Гц включены катушка индуктивности, амперметр и ваттметр. Показания приборов соответственно 120 В, 10 А, 900 Вт. Определить индуктивность катушки, ее активное сопротивление и сдвиг фаз между током и напряжением.

Решение

Цепь не содержит емкости, поэтому формула закона Ома для переменного тока не содержит емкостного сопротивления:

. (1)

Мощность переменного тока равна: , откуда

. (2)

Сдвиг фаз между током и напряжением определяется формулой:

. (3)

Преобразуем (3):

(4)

и подставим в (1): . Отсюда получим:

.

Поскольку , тогда

.

С учётом (2) .

Таким образом,

. (5)

Наконец, найдём индуктивность из (4):

. (6)

Подставим численные значения в (2), (5) и (6):

,

откуда ; Ом; Гн.

Ответ: ; Ом; Гн.

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в LC - контуре, его решение. Как изменяются со временем ток и напряжение в LC - контуре?

2. Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре?

3. Запишите дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. Проанализируйте его.

4. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?

5. Что такое коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания? В чем заключается физический смысл этих величин?

6. При каких условиях наблюдается апериодическое движение?

7. От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите выражение для амплитуды и фазы при резонансе.

8. Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы?

9. Что называется резонансом напряжений? Какова его роль?

10. Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока текущего через конденсатор; катушку индуктивности; резистор? Ответ обосновать с помощью векторных диаграмм.

11. Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного тока с последовательно включенными резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.

12. Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока?