В результате кластерного анализа при помощи предварительно заданных переменных формируются группы наблюдений. Под наблюдениями здесь понимаются отдельные личности (респонденты) или любые другие объекты. Члены одной группы (одного кластера) должны обладать схожими проявлениями переменных, а члены разных групп различными.
Наряду с кластеризацией наблюдений в SPSS предусмотрена кластеризация переменных. Здесь на основе заданных наблюдений образовываются группы переменных. Так как в принципе то же самое делает и факторный анализ, то в этой главе мы ограничимся рассмотрением только кластеризации наблюдений.
Принцип кластерного анализа
Для рассмотрения принципа кластерного анализа выберем сначала очень простой пример.
· Откройте файл bier.sav, который содержит некоторые данные о 17 сортах пива (см. рис.).
Рис.: Данные файла bier.sav в редакторе данных
Переменная herkunft (производитель) указывает на страну-производителя пива, где США закодированы с помощью единицы. Расходы (kosten) приведены в долларах США для ёмкости равной 12 унциям для жидкости (примерно одна треть литра); калорийность указана для одинакового количества пива. Содержание алкоголя приводится в процентах.
Возьмём переменные kalorien (калории) и kosten (расходы) и представим их при помощи простой диаграммы рассеяния.
· Выберите в меню Graphs (Графики) Scalier... (Диаграмма рассеяния)
· Переменную kalorien (калории) поместите в поле оси х, а переменную kosten (расходы) в поле оси у, и для обозначения наблюдения используйте переменную bier (пиво).
· Через кнопку Options... (Опции) активируйте опцию Display Chart with case labels (Показывать график с метками наблюдений).
Вы получите диаграмму рассеяния, представленную на рисунке.
Вы увидите четыре отдельных отчётливых группировки точек, три из них в нижней половине диаграммы и одну в верхнем правом углу. Следовательно, переменные kalorien (калории) и kosten (расходы), явно распадаются на четыре различных кластера по сортам пива.
Сорта пива, которые по значениям двух рассмотренных переменных похожи друг на друга, принадлежат к одному кластеру; сорта пива, находящиеся в различных кластерах, не похожи друг на друга. Решающим критерием для определения схожести и различия двух сортов пива является расстояние между точками на диаграмме рассеяния, соответствующими этим сортам.
Самой распространенной мерой для определения расстояния между двумя точками на плоскости, образованной координатными осями х и у, является евклидова мера:
где x 1 :, и х n — координаты первой точки, у: и уг — координаты второй точки.
Рис. : Диаграмма рассеяния переменных kalorien (калории) и kosten (расходы)
В соответствии с этой формулой расстояние между сортами пива Budweisei Heineken составляет:
Это расстояние лишь незначительно превосходит то, которое получилось бы, если бы для расчета была взята только одна переменная — kalorien (калории):
|144 - 152 | = 8
Данный эффект можно объяснить тем, что уровни значений переменных kalorien (калории) и kosten (расходы) очень сильно отличаются друг от друга: у переменной kosten (расходы) значения меньше 1, а у переменной kalorien (калории) больше 100. Согласно формуле евклидовой меры, переменная, имеющая большие значения, практически полностью доминирует над переменной с малыми значениями.
Решением этой проблемы является рассмотренное в главе 19.1 z-преобразование (стандартизация) значений переменных. Стандартизация приводит значения всех преобразованных переменных к единому диапазону значений, а именно от —3 до +3.
Если Вы произведёте такое преобразование для переменных kalorien (калории) и kosten (расходы), то для пива Budweiser получите стандартизованные значения равные 0,400 и —0,469 соответственно, а для пива Heineken стандартизированные значения 0,649 и 1,848 соответственно.
Тогда расстояние между двумя сортами пива получится равным
Таким образом, при помощи диаграммы рассеяния для двух переменных: kalorien (калории) и kosten (расходы), мы провели самый простой кластерный анализ. Мы выбрали такой вид графического представления, с помощью которого можно было бы отчётливо распознать группирование в кластеры (четыре в нашем случае).
К сожалению, столь отчётливая картина отношений между переменными, как в приведенном примере, встречается очень редко. Во-первых, структуры кластеров, если вообще таковые имеются, не так чётко разделены, особенно при наличии большого количества наблюдений. Скорее наоборот, кластеры размыты и даже проникают друг в друга. Во-вторых, как правило, кластерный анализ проводится не с двумя, а с намного большим количеством переменных.
При кластерном анализе с тремя переменными можно ввести ещё одну ось — ось z и рассматривать размещение наблюдений, а также проводить расчёт расстояния по формуле евклидовой меры в трёхмерном пространстве.
При наличии более трёх переменных определение расстояния между двумя точками х и у в любом n-мерном пространстве для математиков не представляет особого труда. Формула Евклида в таких случаях приобретает следующий вид:
Наряду с евклидовой мерой расстояния, SPSS предлагает и другие дистанционные меры, а также меры подобия. Так что кластерный анализ можно проводить не только с переменными, относящимися к интервальной шкале, как в приведенном случае, но и с дихотомическими переменными, к примеру. В таком ситуации применяется уже другие дистанционные меры и меры подобия (см. разд. 20.3).
При проведении кластерного анализа отдельные кластеры могут формироваться при помощи пошагового слияния, для которого существует ряд различных методов (см. разд. 20.4). Важную роль играют иерархические и партиционные методы, причём последние применяются в подавляющем большинстве случаев. Оба эти метода можно задействовать, если пройти через меню Analyze (Анализ) Classify (Классифицировать)
Они помещены в этом меню под именами Hierarchical Cluster... (Иерархический кластер) и K-Means Cluster... (Кластерный анализ методом к-средних).
Рассмотрим сначала иерархический кластерный анализ, причём начнём с простого примера с 17 сортами пива.
