Основи байєсівського підходу.

Основна перевага статистичних методів розпізнавання полягає в тому, що є можливість одночасного врахування ознак різної фізичної природи, оскільки вони характеризуються безрозмірними величинами – ймовірностями їх появи при різних станах системи. Серед методів розпізнавання метод оснований на узагальненій формулі Байєса незважаючи на свою простоту є досить ефективним. До недоліків цього методу відносять: необхідність великих обсягів (статистично достатніх) попередньої інформації та низька чутливість до варіантів рішень, які є рідкісними подіями. Проте у випадках, коли обсяг статистичних даних дозволяє застосувати метод Байєса, його доцільно використовувати як один з найбільш надійних і ефективних методів.

Суть методу полягає в наступному. Нехай в результаті контролю працездатності системи, який полягає в розпізнаванні функціональних станів цієї системи виявлено деяку ознаку , де – множина ознак, і на цій підставі прийнято варіант рішення, тобто поставлено діагноз , де – множина варіантів діагнозів. Імовірність сумісної появи подій – розпізнано ознаку і поставлено діагноз – може бути визначена як

. (12)

Тоді, імовірність – постановка даного діагнозу при розпізнаванні ознаки визначається з співвідношення

. (13)

Співвідношення (13) називають формулою Байєса. Для користування цією формулою дуже важливо визначити точний смисл усіх величин, які в неї входять.

– імовірність діагнозу , яка визначається на основі статистичних даних (апріорна імовірність рішення). Наприклад, якщо попередньо досліджено об’єктів і для об’єктів було прийнято рішення , то .

– імовірність появи ознаки в об’єктів, для яких було прийнято рішення , тобто, якщо серед об’єктів, для яких прийнято рішення , ознака , виявлена у об’єктів, то .

– імовірність появи ознаки у всіх об’єктів незалежно від того чи було прийняте рішення чи ні, тобто якщо з загального числа об’єктів ознака була виявлена в об’єктів, то . Для прийняття рішення спеціальне обчислення імовірності не потрібне, оскільки відомі для усіх можливих станів значення і визначають величину .

– імовірність прийняття рішення після того як стало відомо про наявність в розпізнаваного об’єкта ознаки (апостеріорна імовірність рішення).

Якщо розпізнавання здійснюється на підставі комплексу ознак , причому кожна ознака може бути представлена декількома градаціями . Такий комплекс ознак є фактично формалізованим описом еталону, з допомогою якого здійснюють ідентифікацію знайдених, подібних до нього об’єктів, і які відповідають рішенням стосовно вибраного діагнозу .

В результаті розпізнавання об’єктів, явищ, ситуацій стають відомими значення реалізацій кожної з виявлених і розпізнаних ознак , а отже і всього комплексу . Формула Байєса для комплексу ознак має вид

, (14)

де – імовірність рішення, на підставі якого ставиться діагноз , після того, як стали відомі результати розпізнавання за набором ознак , а –попередня ймовірність рішення (на основі попередньої статистики).

Якщо кількість ознак в комплексі , то значення ймовірності визначають з допомогою співвідношень: у випадку залежних ознак

, (15)

або у випадку незалежних ознак

. (16)

При великій кількості ознак в більшості практичних задач можна припустити незалежність ознак навіть при істотних кореляційних зв’язках між ними.

Імовірність розпізнавання комплексу ознак рівна

. (17)

Тоді, враховуючи (15) узагальнена формула Байєса матиме вид

, (18)

де може бути визначена з допомогою (15) або (16). Очевидно, що . Оскільки один з діагнозів обов’язково реалізується, а реалізація одночасно двох і більше неможлива.

Діагностична матриця. При практичному застосуванні методу Байєса в першу чергу складають діагностичну матрицю (таблиця 1) на основі попереднього статистичного матеріалу (апріорної інформації), в якій фіксуються значення ознак, що відповідають різним поставленим діагнозам.

Діаг ноз Ознака

0.8 0.2 0.0 0.1 0.1 0.6 0.2 0.2 0.8 0.3

0.1 0.7 0.2 0.0 0.0 0.3 0.7 0.1 0.9 0.1

...

Процес навчання в методі Байєса полягає у формуванні саме діагностичної матриці, апріорні ймовірності діагнозів. Крім того, діагностична матриця може уточнюватись в процесі діагностики. Для цього крім значень необхідно запам’ятовувати і такі величини: – загальне число об’єктів, використаних для формування діагностичної матриці; – число об’єктів з діагнозом ; – число об’єктів з діагнозом , розпізнаних за ознакою .тоді, якщо поступає новий об’єкт з діагнозом то відбувається коректування попередніх апріорних ймовірностей діагнозів в наступний спосіб:

(19)

Далі вводяться поправки для ймовірності ознак. Наприклад, нехай в нового об’єкта з діагнозом виявлено значення . Тоді для подальшої діагностики приймаються нові значення ймовірності градацій ознаки при діагнозі :

(20)

умовні імовірності ознак при інших діагнозах коректування не потребують.