Основные понятия теории вероятностей

Понятия пространства элементарных событий и
случайного события. Основные формулы комбинаторики

Теория вероятностей изучает модели экспериментов, исходы которых неоднозначно определяются условиями опыта (случайного эксперимента).

О: Элементарными событиями называются всевозможные исходы опыта. Пространством (множеством) элементарных событий называется совокупность всех элементарных событий данного опыта: .

Будем считать, что - конечное или счётное множество.

Рассмотрим примеры.

1). Бросается игральная кость. Количество возможных исходов опыта , , - выпадение .

2). Подбрасывается монета. Количество возможных исходов , , - выпадение герба, - выпадение решки.

3). Подбрасываются две монеты. Количество возможных исходов , .

При определении числа элементарных событий, входящих в конечное пространство , используются такие понятия комбинаторного анализа, как перестановки, сочетания, размещения.

О: Соединениями называются различные комбинации из элементов множества , подчинённые определённым условиям. Перестановками из элементов называются соединения, содержащие - элементов и отличающиеся их порядком. Размещениями из элементов по ( ) называются соединения из элементов, составленные из данных элементов, отличающихся друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Сочетаниями из элементов по ( ) называются соединения из элементов, составленные из данных элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Для подсчёта числа соединений существуют следующие формулы:

число перестановок из элементов:

;

число размещений из элементов по :

;

число сочетаний из элементов по :

.

Пример. .

1). Перестановки: , , , , , ; .

2). Размещения из 3-х элементов по 2: , , , , , ; .

3). Сочетания из 3-х элементов по 2: , , ; .

О: Случайным событием называется подмножество множества элементарных событий: . называется достоверным событием, (пустое множество) – невозможным.

В результате эксперимента случайное событие может произойти или не произойти.

Примеры.

1). Бросается игральная кость. Событие - появление цифры , - появление , т.е. в входят 3 элементарных события.

2). Бросаются две игральные кости. Пространство элементарных событий число элементарных событий 36. Пусть - появление таких цифр ( ), что их сумма .

3). Из карточек сложно слово из 6-ти букв «победа». Выбираем наугад две буквы, - обе выбранные буквы являются согласными. Пространство элементарных событий состоит из элементарных событий. Случайное событие состоит из элементарных событий.