Символы и предложения

Исчисление предикатов

Введение

Рассмотрим исчисление предикатов как язык представления знаний. Его достоинства заключаются в четкой формальной семантике, обоснованности и полноте правил вывода. Начнем с обзора исчисления высказываний. Далее определим синтаксис и семантику исчисления предикатов. Затем обсудим правила вывода исчисления предикатов и их применение в решении задач.

Исчисление высказываний

Символы и предложения

Исчисление высказываний и исчисление предикатов являются, прежде всего, языками. Используя их слова, фразы и предложения, можно представлять свойства и отношения в окружающем мире и рассуждать о них. Для задания высказываний прежде всего нужно определить символы исчисления высказываний.

Символы исчисления высказываний включают

q символы высказываний Р, О, R, S,. . .;

q значения истинности true (истина) и false (ложь);

q и логические связки Ù, Ú, Ø, ®, º.

Символы высказываний (пропозициональные символы) составляют высказывания (proposition) или утверждения относительно некоторого мира. Они могут быть истинны и ложны, например, "автомобиль синий" или "песок мокрый". Высказывания обозначаются прописными буквами и начинаются буквой, расположенной в конце английского алфавита. В исчислении высказываний предложения формируются из элементарных символов по следующим правилам:

q Каждый логический символ и символ истинности являются предложением. Например: true, Р, О и R — предложения.

q Отрицание предложения есть предложение. Например: Ø P и Ø false есть предложения.

q Конъюнкция (логическое умножение), или операция И, двух предложений есть предложение. Например: Р Ù Ø P — предложение.

q Дизъюнкция (логическое сложение), или операция ИЛИ, двух предложений есть предложение. Например: P Ú Ø P — предложение.

q Импликация (включение) одного предложения в другое есть предложение. Например: P ® Q — предложение.

q Эквивалентность двух предложений есть предложение. Например: P Ú Q º R — предложение.

Действительные предложения также называются правильно построенными формулами (well-formed formulas — WFF), или ППФ.

В выражениях вида Р Ù Q элементы Р и Q называются конъюнктами. В выражениях вида P Ú Q элементы Р и Q называются дизъюнктами. В импликации P ® Q, P — предпосылка, или антецедент (antecedent), a Q — заключение, или логическое следствие.

В исчислении высказываний знаки () и [ ] используются для группировки символов в подвыражения для управления порядком их оценки и присваивания значений. Например, (P Ú Q) = R отличается от P Ú ( Q = R). С помощью символов логических связок, знаков () и [ ] из предложений могут строится новые предложения. Например, импликация одного предложения в другое (P /\ Q) ® R является предложением.