Формулы прямоугольников

Существует несколько видов формул прямоугольников:

1. "Формула левых прямоугольников.

В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке [x₀;x_n] выглядит следующим образом (21):

В данной формуле x₀=a, x_n=b, так как любой интеграл в общем виде выглядит: (см. формулу 18).

h можно вычислить по формуле 19.

y₀, y₁,..., y_n-1 - это значения соответствующей функции f(x) в точках x₀, x₁,..., x_n-1 (x_i=x_i-1+h).

1. Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке [x₀;x_n] выглядит следующим образом (22):

В данной формуле x₀=a, x_n=b (см. формулу для левых прямоугольников).

h можно вычислить по той же формуле, что и в формуле для левых прямоугольников.

y₁, y₂,..., y_n - это значения соответствующей функции f(x) в точках x₁, x₂,..., x_n (x_i=x_i-1+h).

1. Формула средних прямоугольников.

В общем виде формула средних прямоугольников на отрезке [x₀;x_n] выглядит следующим образом (23):

Где x_i=x_i-1+h.

В данной формуле, как и в предыдущих, требуется h умножать сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя соответствующие значения x₀,x₁,...,x_n-1 в функцию f(x), а прибавляя к каждому из этих значений h/2 (x₀+h/2, x₁+h/2,..., x_n-1+h/2), а затем только подставляя их в заданную функцию.

h можно вычислить по той же формуле, что и в формуле для левых прямоугольников." [6]

На практике данные способы реализуются следующим образом:

a) Вычислить интеграл
по формуле левых прямоугольников при n=10, используя: Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле левых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия: Ввести в ячейку A1 текст a=. Ввести в ячейку B1 число 0. Ввести в ячейку A2 текст b=. Ввести в ячейку B2 число 3,2. Ввести в ячейку A3 текст n=. Ввести в ячейку B3 число 10. Ввести в ячейку A4 текст h=. Ввести в ячейку B4 формулу =(B2-B1)/B3. Вести в ячейку A6 текст i, в B6 - x, в C6 - y0,...,y(n-1). Ввести в ячейку A7 число 0. Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17. Ввести в ячейку B7 число 0. Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17. Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек C8:C16. Ввести в ячейку B18 текст сумма:. Ввести в ячейку B19 текст интеграл=. Ввести в ячейку C18 формулу =СУММ(C7:C16). Ввести в ячейку C19 формулу =B4*C18. Ввести в ячейку C20 текст левых. В итоге получаем следующее: Ответ: значение заданного интеграла равно 12,500377.
b) Вычислить интеграл
по формуле правых прямоугольников при n=10, используя:

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формуле левых прямоугольников.
2. В ячейку D6 ввести текст y1,…,yn.
3. Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D9:D17
4. Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D7:D17).
5. Ввести в ячейку D19 формулу =B4*D18.
6. Ввести в ячейку D20 текст правых.

В итоге получаем следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.

Для того, чтобы вычислить интеграл методом Монте-Карло в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. В ячейку B1 ввести текст n=.
2. В ячейку B2 ввести текст a=.
3. В ячейку B3 ввести текст b=.

В ячейку C1 ввести число 10.

1. В ячейку C2 ввести число 0.
2. В ячейку C3 ввести число 3,2.
3. В ячейку A5 ввести I, в В5 – xi, в C5 – f(xi).
4. Ячейки A6:A15 заполнить числами 1,2,3, …,10 – так как n=10.
5. Ввести в ячейку B6 формулу =СЛЧИС()*3,2 (происходит генерация чисел в диапазоне от 0 до 3,2), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек В7:В15.
6. Ввести в ячейку C6 формулу =КОРЕНЬ(B6^4-B6^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек C7:C15.
7. Ввести в ячейку B16 текст «сумма», в B17 – «(b-a)/n», в B18 – «I=».
8. Вести в ячейку C16 формулу =СУММ(C6:C15).
9. Вести в ячейку C17 формулу =(C3-C2)/C1.
10. Вести в ячейку C18 формулу =C16*C17.

В итоге получаем:

Ответ: значение заданного интеграла равно 13,12416.