Разложение квадратного трехчлена на множители

1 , где , корни квадратного уравнения

Формулы сокращенного умножения

2

3

Свойства степеней

18 20

Свойства логарифмов

22 23 24

Приложение Б

Вычисление пределов функции. Раскрытие неопределенностей

Приложение В

Образцы выполнения типового расчета

Приложение В

Образцы выполнения типовых заданий

Вычислите пределы

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.

Пример 1

Для определения типа неопределенности подставим предельное значение в функцию. Пределы числителя и знаменателя равны 0. Для раскрытия неопределенности вида нужно сделать тождественные преобразования данной функции такие, чтобы в числителе и знаменателе выделился в явном виде множитель , т. к. , то , тогда числитель и знаменатель можно сократить на

Решение

Разложим числитель и знаменатель на множители по формуле 1 (Ф.1)

Пример 2

Разложим на множители числитель по Ф.5, знаменатель по Ф.4

Пример 3

Решение

Освободимся от иррациональности в числителе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, т.е. на сумму и преобразуем числитель по Ф.4

Пример 4

Пример 5

Решение

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на (на переменную с наибольшим показателем степени, стоящую в знаменателе) и учтем, что , , при

Пример 6

Пример 7

Замечание. Если при функция представляет отношение многочленов, то в общем случае имеем:

Пример 8 воспользуемся Ф.12 при , воспользуемся Ф.9

Пример 9

Решение

Сделаем заменупеременной: , , обозначим , .

Выразим из подстановки :

Выполним замену переменной

Пример 10

Предел выражения в скобках равен 1 (см. пример 5), а показатель степени стремится к , поэтому имеем неопределенность типа . Для раскрытия неопределенности используется второй замечательный предел.

Решение

В основание степени стоит неправильная дробь, выделим целую часть:

Пример 11

Решение

Для раскрытия неопределенности типа применим второй замечательный предел в форме . Представим основание в виде :

Пример 12

Решение

Преобразуем функцию под знаком предела по свойствам логарифмов Ф.23, Ф.24:

(см. пример 10)

Пример 13

разделим числитель и знаменатель на

Пример 14

, воспользуемся Ф.12

Пример 15

Преобразуем функцию под знаком предела

, воспользуемся следствием 2.4.4

Пример 16 , , ,

следствие 2.4.4

Пример 17 воспользуемся Ф.15

,

помножим числитель и знаменатель на

(воспользуемся первым замечательным пределом и следствием 2.4.2)